a) Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+2.

Wykonujemy dzielenie w:(x+2):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-7x+12:

Zatem:

I stąd:

Pozostałe pierwiastki wielomianu w to:

b) Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-4.

Wykonujemy dzielenie w:(x-4):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+2x-1:

Zatem:

I stąd:

Pozostałe pierwiastki wielomianu w to:

c) Liczba ¹/₂ jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-¹/₂.

Wykonujemy dzielenie w:(x-¹/₂):

Otrzymujemy:

Trójmian 2x²+2x+2 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem:

Wielomian w nie ma innych pierwiastków niż ¹/₂.

d) Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1.

Wykonujemy dzielenie w:(x-1):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+4x+1:

Zatem:

I stąd:

Pozostałe pierwiastki wielomianu w to:

e) Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2.

Wykonujemy dzielenie w:(x-2):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+x-6:

Zatem:

I stąd:

Pozostałe pierwiastki wielomianu w to:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1).

Wykonujemy dzielenie w:(x-1):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-5x+6:

Zatem rozwiązaniami równania są liczby:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-7).

Wykonujemy dzielenie w:(x-7):

Otrzymujemy:

Trójmian x²+x+2 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+3).

Wykonujemy dzielenie w:(x+3):

Otrzymujemy:

Trójmian x²+2x+2 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -9, -3, -1, 1, 3, 9. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3).

Wykonujemy dzielenie w:(x-3):

Otrzymujemy:

Trójmian x²+2x+3 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -5, -1, 1, 5. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-5).

Wykonujemy dzielenie w:(x-5):

Otrzymujemy:

Trójmian 2x²+x+1 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1).

Wykonujemy dzielenie w:(x+1):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu 15x²-7x-2:

Zatem rozwiązaniami równania są liczby:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -4, -2, -1, 1, 2, 4. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1).

Wykonujemy dzielenie w:(x-1):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki wielomianu x³+2x²-2x-4:

Zatem rozwiązaniami równania są liczby:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1).

Wykonujemy dzielenie w:(x+1):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki wielomianu x³-2x²-5x+10:

Zatem rozwiązaniami równania są liczby:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Żaden z dzielników liczby 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wielomian w ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wynika z niego, że:

Zatem:

Sprawdziliśmy przypadki dla -2, -1, 1, 2, więc zostają nam tylko:

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w:

Liczba -¹/₂ jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+¹/₂).

Wykonujemy dzielenie w:(x+¹/₂):

Otrzymujemy:

Trójmian 2x²+2x+4 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+2).

Wykonujemy dzielenie w:(x+2):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu 2x²-3x+1:

Zatem rozwiązaniami równania są liczby:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -3, -1, 1, 3. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Żaden z dzielników liczby -3 nie jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wielomian w ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wynika z niego, że:

Zatem:

Sprawdziliśmy przypadki dla -3, -1, 1, 3, więc zostają nam tylko:

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w:

Liczba ³/₂ jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-³/₂).

Wykonujemy dzielenie w:(x-³/₂):

Otrzymujemy:

Trójmian 2x²+2x+2 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Żaden z dzielników liczby 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wielomian w ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wynika z niego, że:

Zatem:

Sprawdziliśmy przypadki dla -2, -1, 1, 2, więc zostają nam tylko:

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w:

Liczba -¹/₃ jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+¹/₃).

Wykonujemy dzielenie w:(x+¹/₃):

Otrzymujemy:

Trójmian 3x²-6x+6 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba:

a) Wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1, gdy liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, czyli:

b) Wielomian w jest podzielny przez dwumian x-a, gdy liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w, czyli: