Przekształcamy wielomian do prostszej postaci:

Skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

Zatem:

Objętość sześcianu o krawędzi √6-√3 jest równa (√6-√3)³. Zatem:

Porównując współczynniki przy √6 i √3 po obu stronach równania otrzymujemy, że:

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu są liczby: -32, -16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Spośród wypisanych liczb liczby, których wartość bezwzględna jest mniejsza od 4 to: -2, -1, 1, 2.

Sprawdzamy, która z liczb -2, -1, 1, 2 jest pierwiastkiem wielomianu w:

Spośród liczb całkowitych o wartości bezwzględnej mniejszej od 4 pierwiastkiem wielomianu w jest liczba -2.

Objętość pudełka wyraża się wzorem:

Długości krawędzi pudełka musza być liczbami dodatnimi. Stąd:

Zatem:

Otrzymujemy:

Objętość pudełka jest równa 32, gdy:

Objętość pudełka jest równa 32 dla:

Wykonujemy dzielenie w:(x-3):

Otrzymujemy:

Obliczamy pierwiastki trójmianu 3x²+6x+2:

Pierwiastki trójmianu 3x²+6x+2 otrzymane w wyniku dzielenia w:(x-3) są liczbami niewymiernymi, więc trójmian 3x²+6x+2 nie ma pierwiastków wymiernych, co należało dowieść.

Oznaczmy:

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -4, -2, -1, 1, 2, 4.

Sprawdzamy, które z tych liczb są pierwiastkami wielomianu w:

Zatem całkowitymi rozwiązaniami równania w(x)=0 są liczby: -4, 1.

Obliczamy, dla jakich argumentów wykresy funkcji f i g się przecinają:

Obliczamy wartości jednej z funkcji dla wyznaczonych argumentów:

Zatem wykresy funkcji f i g przecinają się w punktach (-3, -3), (0, 0), (3, 3).

Prostopadłościan o krawędziach zależnych od zmiennej a będziemy nazywać prostopadłościanem A, zaś prostopadłościan o krawędziach zależnych od zmiennej b będziemy nazywać prostopadłościanem B.

Objętość prostopadłościanu A wyraża się wzorem:

Długości krawędzi prostopadłościanu muszą być liczbami dodatnimi. Stąd:

Zatem:

Objętość prostopadłościanu jest równa 120. Stąd:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -40, -20, -10, -8, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (a-2).

Wykonujemy dzielenie w:(a-2):

Otrzymujemy:

Trójmian 2a²+9a+20 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem objętość prostopadłościanu A jest równa 120 dla:

Wówczas długości krawędzi prostopadłościanu A mają długości:

Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu A:

Objętość prostopadłościanu B wyraża się wzorem:

Długości krawędzi prostopadłościanu muszą być liczbami dodatnimi. Stąd:

Zatem:

Objętość prostopadłościanu jest równa 120. Stąd:

Szukamy pierwiastków wielomianu

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego v są liczby -60, -30, -20, -15, -12, -10, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem v:

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu v, więc wielomian v jest podzielny przez dwumian (b-3).

Wykonujemy dzielenie v:(b-3):

Otrzymujemy:

Trójmian b²+6b+20 nie ma pierwiastków, ponieważ:

Zatem objętość prostopadłościanu B jest równa 120 dla:

Wówczas długości krawędzi prostopadłościanu B mają długości:

Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu B:

Otrzymaliśmy, że P_A=P_B, co należało dowieść.