a) Zauważmy, że prostokąt wyznaczony przez dane punkty ma boki długości x₀ i y₀. Stąd pole prostokąta obliczymy następująco:

Wiemy, że punkt (x₀,y₀) należy do wykresu funkcji   czyli mamy:

Podstawiając tak wyznaczone y₀ do wzoru na pole prostokąta otrzymujemy:

Prostokąt o wierzchołkach w zadanych punktach ma pole równe a.

b)  Trzy wierzchołki kwadratu mają współrzędne (0,0), (0,y₀) oraz (x₀,0). Figura jest kwadratem, więc:

(x₀ oraz y₀ traktujemy jak długości boków kwadratu więc musimy obłożyć je wartością bezwzględną)

Wiemy, że punkt (x₀,y₀) należy do wykresu funkcji   czyli mamy:

Wiemy, że    zatem możemy zapisać:

Chcemy obliczyć długość boku kwadratu, czyli |x₀|, stąd:

Obliczyliśmy długość boku kwadratu.

Korzystają ze wzoru na długość przekątnej (d) w kwadracie mamy:

Rysunek pomocniczy:

Zał:   

Punkty przecięcia prostej    i prostej    to:

Zatem są to punkty:

Punkty przecięcia prostej    i prostej    to:

Zatem są to punkty:

Wyznaczmy długość odcinka AB.

Wyznaczmy długość odcinka BC.

Zatem:

Z treści zadania wiemy, że P=24, zatem:

Zatem:

Aby znaleźć punkt wspólny prostej i hiperboli rozwiązujemy układ równań:

Pamiętamy o dziedzinie hiperboli:

Rozwiązujemy drugie równanie:

Otrzymujemy równanie kwadratowe, więc obliczamy wyróżnik:

Prosta oraz hiperbola mają jeden punkt wspólny, więc układ równań będzie mieć jedno rozwiązanie.

Aby układ miał jedno rozwiązanie wyróznik kwadratowy musi być równy 0.

Obliczamy wyróznik dla równania z niewiadomą m:

Zauważmy, że prosta y=-x+m jest malejąca, więc gdyby m było równe -1, to prosta nie przecinałaby hiperboli w I ćwiartce.

Dla m=7, prosta przecina hiperbolę w I ćwiartce, stąd:

Obliczamy pole trapezu ABCD.

Najpierw obliczamy współrzędne punktu C. Wracamy do powyższych obliczeń i do jednego z równań w miejsce m wstawiamy 7:

Współrzędne punktu C to: 

Współrzędna x punktu D jest równa 0, a współrzędna y punktu D jest taka sama jak punktu C, stąd:

Punkt A to:

Aby obliczyć współrzędne punktu B obliczamy miejsce zerowe prostej y=-x+7:

Stąd współrzędne punktu D to:

Aby wyznaczyć pole ABCD wyznaczamy długości odcinków:

Obliczamy pole trapezu:

Obliczamy punkt E przecięcia hiperboli z osią OX. Do wzoru hiperboli podstawiamy y=0:

Mamy więc:

Obliczamy punkt F przecięcia hiperboli z osią OY. Do wzoru hiperboli podstawiamy x=0:

Mamy więc:

Chcemy obliczyć pole trójkąta CEF. 

Rysunek pomocniczy:

Znamy współrzędne punktów C, E i F:

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość odcinka CF:

Aby wyznaczyć pole tego trójkąta musimy znać jeszcze długość odcinka EK (wysokości poprowadzonej na podstawę CF).

W tym celu wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty C i F, a następnie wyznaczymy odległość punktu E do tej prostej (do punktu K - patrz rysunek).

Wyznaczamy równanie prostej - rozwiązujemy układ równań ( do równania prostej y=ax+b podstawiamy współrzędne punktów C i F):

Równanie prostej przechodzącej przez punkty C i F:

Powyższa prosta zapisana w postaci ogólnej:

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu (x₀,y₀) od prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0:

Dane:

Obliczamy pole trójkąta CEF:

a)

Wstawiając punkt   otrzymujemy:

Podstawiając do wzoru funkcji liniowej   otrzymujemy:

Założenie   

Aby był dokładnie jeden punkt wspólny to   

Otrzymujemy wzór funkcji   

Obliczmy punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych.

Wobec tego trójkąt ten ma podstawę długości 2 oraz wysokość długości 2.

b)

Niech   będzie prostą styczną do   

Aby było dokładnie jedno rozwiązanie musi istnieć dokładnie jeden pierwiastek, czyli   

Wobec tego prosta styczna ma równanie   

Ta prosta przecina osie układu współrzędnych w dwóch punktach. Obliczmy współrzędne tych punktów.

Wobec tego pole nie zależy od punktu styczności.

a) Narysujmy hiperbolę   oraz okrąg o środku   

Odp. Brak punktów wspólnych.

b) Narysujmy hiperbolę   oraz okrąg o środku   

Odp. cztery punkty wspólne.

c) Narysujmy hiperbolę   oraz okrąg o środku   

Odp. Dwa punkty wspólne.

Napiszmy wzór okręgu o środku w punkcie   

Hiperbola jest określona wzorem:

Możemy zauważyć, że dla   okrąg i hiperbola mają dokładnie jeden punkt wspólny i jest to  

Sprawdźmy nasze przypuszczenia:

Jeśli   okrąg i hiperbola nie mają punktów wspólnych.

Jeśli   okrąg i hiperbola ma jeden punkt wspólny.

Jeśli   okrąg i hiperbola mają dwa lub więcej punktów wspólnych.

Sprawdźmy kiedy okrąg i hiperbola mają dokładnie trzy punkty wspólne.

Możemy zauważyć, że dla   okrąg i hiperbola mają punkt wspólny z wykresem hiperboli, który znajduje się poniżej osi OX.

Punkt wspólny to   

Sprawdźmy nasze przypuszczenia:

Jeśli   okrąg i hiperbola mają trzy punkty wspólne.

Jeśli   okrąg i hiperbola mają cztery punkty wspólne.

Zał:

Wyznaczmy punkt przecięcia wykresu funkcji f(x) z osią x.   

Zatem jest to punkt   

Wyznaczmy punkt przecięcia wykresu funkcji f(x) z osią y.

Zatem jest to punkt   

Zauważmy, że trójkąt ABO to trójkąt prostokątny.

Wiemy, że    zatem:

Rozwiązując pierwsze równanie mamy:

Rozwiązując drugie równanie mamy:

Zatem:

Zauważmy, że trójkąt ABO to trójkąt prostokątny.

Wiemy, że    zatem:

Rozwiązując pierwsze równanie mamy:

Rozwiązując drugie równanie mamy:

Zatem: