Korzystamy ze wzoru:

Obliczmy pole wycinka koła AOB.

Obliczmy pole trójkąta AOB.

Zatem pole odcinka koła wynosi:

Obliczmy pole wycinka koła AOB.

Obliczmy pole trójkąta AOB.

Zatem pole odcinka koła wynosi:

Obliczmy pole wycinka koła AOB.

Obliczmy pole trójkąta AOB.

Zatem pole odcinka koła wynosi:

Musimy obliczyć pole kwadratu i odjąć od niego pole czterech okręgów.

Zauważmy, że promień okręgu jest równy:

Zatem:

Wobec tego otrzymujemy:

Zatem zacieniowane pole wynosi:

Zatem pokazaliśmy, że:

Rysunek pomocniczy:

Oznaczmy kąt środkowy BOA jako   

Zauważmy, że kąt BCA to kąt wpisany oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy BOA, zatem ma miarę dwukrotnie mniejszą.

Zauważmy, że kąt CBA to kąt prosty, ponieważ jest oparty na średnicy.

Dla trójkąta ABC układamy zależność trygonometryczną:

Zatem pole mniejszego z wycinków jest równe:

Pole drugiego z wycinków jest równe:

Obliczmy długość krótszego łuku wyznaczonego przez te punkty.

Pole drugiego z łuków jest równe:

Rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy miarę kąta AOB, znając pole trójkąta ABO.

Otrzymujemy

Zauważmy, że 

skąd otrzymujemy, że 

Przypadek I. 

Obliczmy pole mniejszej z figur, na które cięciwa podzieliła ten okrąg.

Od pola wycinka kołowego wystarczy odjąć pole trójkąta ABO.

Obliczmy pole większej z figur, na które cięciwa podzieliła ten okrąg.

Od pola koła wystarczy odjąć pole mniejszej z figur, czyli P₁.

Przypadek II. 

Obliczmy pole mniejszej z figur, na które cięciwa podzieliła ten okrąg.

Od pola wycinka kołowego wystarczy odjąć pole trójkąta ABO.

Obliczmy pole większej z figur, na które cięciwa podzieliła ten okrąg.

Od pola koła wystarczy odjąć pole mniejszej z figur, czyli P₁.