Zauważmy, że:

Zatem:

Wobec tego są to okręgi przecinające się, czyli istnieją dwie wspólne styczne.

Zauważmy, że:

Zatem:

Wobec tego są to okręgi styczne zewnętrznie , czyli istnieją trzy wspólne styczne.

Zauważmy, że:

Zatem:

Wobec tego są to okręgi styczne wewnętrznie, czyli istnieje jedna wspólna styczna.

Zauważmy, że:

Zatem:

Wobec tego są to okręgi rozłączne zewnętrznie, czyli istnieją cztery wspólne styczne.

Obliczamy odległość prostej k od środka okręgu.
Aby obliczyć tą odległość wybieramy na prostej k punkt P taki, aby odcinek |OP| był prostopadły do prostej k i obliczamy odległość między punktami O i P. Wszystkie punkty o drugiej współrzędnej równej 3 należą do prostej k.
Aby odcinek |OP| był prostopadły do prostej k, pierwsza współrzędna tego punktu musi być taka sama jak pierwsza współrzędna środka okręgu O.
Odległość prostej od środka okręgu jest równa odległości między punktami O i P. 

Ponieważ punkty te są współliniowe, odległość obliczymy z ich drugich współrzędnych.

Jeśli   to okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych. 

Zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych dla:

Jeśli   to okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny.

Zatem prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny dla:

Jeśli   to okrąg i prosta mają 2 punkty wspólny.

Jednocześnie uwzględniamy, że długość promienia musi być liczbą dodatnią.

Zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólny dla:

b)

Wybieramy na prostej k punkt P taki, aby odcinek |OP| był prostopadły do prostej k i obliczamy odległość między punktami O i P.
Wszystkie punkty o pierwszej współrzędnej równej -1 należą do prostej k, znamy zatem tą współrzędną punktu P.
Aby odcinek |OP| był prostopadły do prostej k, druga współrzędna tego punktu musi być taka sama jak druga współrzędna środka okręgu O (ta współrzędna wynosi 4).

Ponieważ punkty P i O są współliniowe, a drugie współrzędne są takie same, to odległość obliczymy z ich pierwszych współrzędnych.

Jeśli   to okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych.

Zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych dla:

Jeśli   to okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny.

Zatem prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny dla:

Jeśli   to okrąg i prosta mają 2 punkty wspólny.

Jednocześnie uwzględniamy, że długość promienia musi być liczbą dodatnią.

Zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólny dla:

Wybieramy na prostej k punkt P taki, aby odcinek |OP| był prostopadły do prostej k i obliczamy odległość między punktami O i P.
Wszystkie punkty o pierwszej współrzędnej równej √2  należą do prostej k, znamy zatem tą współrzędną punktu P.
Aby odcinek |OP| był prostopadły do prostej k, druga współrzędna tego punktu musi być taka sama jak druga współrzędna środka okręgu O (ta współrzędna wynosi 1).

Ponieważ punkty P i O są współliniowe, a drugiej współrzędne są takie same, odległość obliczymy z ich pierwszych współrzędnych.

Jeśli   to okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych. 

Zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych dla:

Jeśli   to okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny. 

Zatem prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny dla:

Jeśli   to okrąg i prosta mają 2 punkty wspólny.

Jednocześnie uwzględniamy, że długość promienia musi być liczbą dodatnią.

Zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólny dla: