Zauważmy, że trójkąty PAC i PDB są podobne na mocy cehcy kąt-kąt-kąt.

 ponieważ są to kąty wierzchołkowe.

 ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

 ponieważ są to katy wpisane oparte na tym samym łuku.

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione. 

a)

b)

Korzystając z tw. Pitagorasa

c)

Zauważmy, że   

Z twierdzenia o cięciwach dostajemy:

Jeśli   to   

Jeśli   to    

a)

Korzystamy z twierdzenia o cięciwach:

Zauważmy, że  

Zauważmy, że trójkąt   jest równoramienny.

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

b)

I sposób:

Najpierw obliczmy   wykorzystując tw. Pitagorasa.

 

II sposób:

Korzystamy z twierdzenia o cięciwach:

oznaczmy punkt przecięcia jako P

wówczas:

 

 

 

 

zatem promień tego okręgu wynosi:

 


 

c)

Zauważmy, że trójkąty   i   są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

 ponieważ są to kąty wierzchołkowe.

 ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

 ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

Na mocy powyższego:

Korzystając z tw. Pitagorasa:

a)

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

Cięciwa dzieli średnicę na odcinki 2 i 14. 

b)

Zauważmy, że trójkąt PBQ i QAP są oparte na średnicy, zatem:

Zauważmy, że kąt ostry tego czworokąta to kąt BQA.

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta mamy:

Z drugiej strony mamy:

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie   

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie   

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie