Zauważmy, że:

Obliczenia dla pierwszego wiersza:

Obliczenia dla drugiego wiersza:

Obliczenia dla trzeciego wiersza:

Obliczenia dla czwartego wiersza:

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że z każdego wierzchołka wychodzą dokładnie trzy przekątne. Zauważmy, że przekątna AD jest liczona podwójnie - jako wychodząca z wierzchołka A i jako wychodząca z wierzchołka D (podobnie pozostałe przekątne).

Ilość wszystkich przekątnych:

Zauważmy, że n-kąt foremny ma   wierzchołków. Z każdego z wierzchołków wychodzi   przekątne.

Zauważmy, że każda przekątna jest liczona podwójnie.

Ilość wszystkich przekątnych n-kąta foremnego:

Co należało pokazać. 

Najpierw obliczmy kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego

 więc   

Zauważmy, że 

Najpierw obliczmy kąt przy wierzchołku jednego trójkąta równoramiennego. 

Zauważmy, że pole jednego takiego trójkąta to   

Pole ośmiokąta foremnego składa się z ośmiu takich trójkątów, czyli   

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że w ośmiokącie foremnym mamy trzy długości przekątnych.

Przekątne AE, BF, CG, DH dzielą ośmiokąt foremny ABCDEFGH o boku długości a na osiem przystających trójkątów równoramiennych, których ramię ma długość x. 

Zauważmy, że kąt między ramionami każdego z utworzonych trójkątów równoramiennych jest równy:

Rozważmy trójkąt ASC. 

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny, w którym

czyli jest to trójkąt o kątach 45°, 45° i 90°. 

Zauważmy, że odcinek KS jest wysokością w tym trójkącie (opuszczoną z wierzchołka kąta prostego).

Korzystając z zależności między długościami boków w tym trójkącie dostajemy 

Rozważmy trójkąt prostokątny BKC.

Zauważmy, że

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

więc

więc

Zatem otrzymujemy:

Co należało pokazać.

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że w ośmiokącie foremnym mamy trzy długości przekątnych.

Przekątne AE, BF, CG, DH dzielą ośmiokąt foremny ABCDEFGH o boku długości a na osiem przystających trójkątów równoramiennych, których ramię ma długość x. 

Zauważmy, że kąt między ramionami każdego z utworzonych trójkątów równoramiennych jest równy:

Rozważmy trójkąt ASC. 

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny, w którym

czyli jest to trójkąt o kątach 45°, 45° i 90°. 

Zauważmy, że odcinek KS jest wysokością w tym trójkącie (opuszczoną z wierzchołka kąta prostego).

Korzystając z zależności między długościami boków w tym trójkącie dostajemy 

Rozważmy trójkąt prostokątny BKC.

Zauważmy, że

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

więc

więc

Oznaczmy środek odcinka AD - jako I. Rozważmy trójkąt SDI. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

Co należało pokazać.

Zauważmy, że n-kąt foremny składa się z trójkątów równoramiennych. 

Różnica między polem koła opisanego na tym wielokącie, a polem koła pisanego w ten wielokąt wynosi

Korzystając z tw. Pitagorasa w tym trójkącie otrzymujemy:

Podstawiając do powyższej różnicy otrzymujemy:

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

Co należało pokazać.

Zauważmy, że n-kąt foremny składa się z    trójkątów równoramiennych. 

Zauważmy, że   ,

ponieważ takich trójkątów jest   , więc jest   kątów jak przy wierzchołku tego trójkąta (  ), a te kąty tworzą   

Inaczej:   

Co należało uzasadnić.

Zauważmy, że n-kąt foremny składa się z    trójkątów równoramiennych. 

Zauważmy, że   ,

ponieważ takich trójkątów jest   , więc jest     kątów jak przy wierzchołku tego trójkąta (  ), a te kąty tworzą   

Inaczej:   

Co należało uzasadnić.