Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania:

Δ<0, więc równanie nie ma pierwiastków.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁x₂<0, więc pierwiastki x₁, x₂ mają różne znaki.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁x₂>0, więc pierwiastki x₁, x₂ mają ten sam znak.

Obliczamy sumę pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁+x₂<0, więc pierwiastki x₁, x₂ są ujemne.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁x₂>0, więc pierwiastki x₁, x₂ mają ten sam znak.

Obliczamy sumę pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁+x₂>0, więc pierwiastki x₁, x₂ są dodatnie.

Δ<0, więc równanie nie ma pierwiastków.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁x₂>0, więc pierwiastki x₁, x₂ mają ten sam znak.

Obliczamy sumę pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁+x₂>0, więc pierwiastki x₁, x₂ są dodatnie.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzoru Viete'a:

x₁x₂<0, więc pierwiastki x₁, x₂ mają różne znaki.

Założenia:

 (równanie ma pierwiastki, czyli ma jeden pierwiastek podwójny x₀ lub dwa pierwiastki x₁, x₂)

Teza:

 (dla Δ>0)

oraz

 (dla Δ=0)

Dowód:

W dowodzie dla Δ=0 korzystamy z poniższej zależności:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę odwrotności pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę odwrotności pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę odwrotności pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy kwadrat różnicy pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy kwadrat różnicy pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy kwadrat różnicy pierwiastków równania:

Założenia:

Równanie kwadratowe ax²+bx+c=0 ma pierwiastki x₁, x₂, c≠0.

Teza:

Dowód:

Za wzorów Viete'a:

Mamy więc:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania:

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Obliczamy sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania:

Szukamy równania kwadratowego postaci:

Równanie ma być kwadratowe, więc a≠0.

a) Suma i iloczyn pierwiastków równania mają być odpowiednio równe 7 i 3, więc:

Korzystamy ze wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków.

Podstawiamy wyznaczone wartości b i c do równania.

Sprawdzamy liczbę rozwiązań równania:

Δ>0, więc równanie kwadratowe x²-7x+3=0 ma dwa pierwiastki x₁, x₂.

Odp. Tak, można ułożyć równanie kwadratowe tak, aby suma i iloczyn jego pierwiastków były odpowiednio równe 7 i 3.

b) Suma i iloczyn pierwiastków równania mają być odpowiednio równe 3 i 7, więc:

Korzystamy ze wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków.

Podstawiamy wyznaczone wartości b i c do równania.

Sprawdzamy liczbę rozwiązań równania:

Δ<0, więc równanie kwadratowe x²-3x+7=0 nie ma pierwiastków.

Odp. Nie, nie można ułożyć równania kwadratowego tak, aby suma i iloczyn jego pierwiastków były odpowiednio równe 3 i 7.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Szukamy równania kwadratowego postaci Ax²+Bx+C=0, A≠0, którego pierwiastkami będą liczby 2x₁, 2x₂. Ze wzorów Viete'a otrzymujemy:

oraz

Podstawiamy wyznaczone wartości B i C do równania Ax²+Bx+C=0.

Szukane równanie przyjmuje postać:

Uwaga: Powyższe równanie to równanie przykładowe - każde równanie równoważne powyższemu (np. otrzymane w wyniku podstawienia A=2) będzie spełniało warunki zadania.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Szukamy równania kwadratowego postaci Ax²+Bx+C=0, A≠0, którego pierwiastkami będą liczby 2x₁, 2x₂. Ze wzorów Viete'a otrzymujemy:

oraz

Podstawiamy wyznaczone wartości B i C do równania Ax²+Bx+C=0.

Szukane równanie przyjmuje postać:

Uwaga: Powyższe równanie to równanie przykładowe - każde równanie równoważne powyższemu (np. otrzymane w wyniku podstawienia A=2) będzie spełniało warunki zadania.

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

Szukamy równania kwadratowego postaci Ax²+Bx+C=0, A≠0, którego pierwiastkami będą liczby 2x₁, 2x₂. Ze wzorów Viete'a otrzymujemy:

oraz

Podstawiamy wyznaczone wartości B i C do równania Ax²+Bx+C=0.

Szukane równanie przyjmuje postać:

Uwaga: Powyższe równanie to równanie przykładowe - każde równanie równoważne powyższemu (np. otrzymane w wyniku podstawienia A=2) będzie spełniało warunki zadania.