a) Rozpiszmy lewą stronę tej równości, zamieniając podstawę logarytmu na a. 

b) Rozpiszmy lewą stronę tej równości, zamieniając podstawę logarytmu na a.

Przypomnijmy twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu:

Jeśli x,y,z> 0 oraz x≠1, z≠1 to:

Zapiszmy logarytm:

jako logarytm o podstawie a - korzystamy z tw. o zamianie podstawy (przyjęte założenia spełniają założenia tw. o zamianie podstawy logarytmu).

a) Założenia:   

Chcemy pokazać:

Podstawiając    i korzystając ze wzoru   otrzymujemy: 

(a ∈ (0, 1), b ∈ (0, 1), więc t>0)

Co kończy dowód, gdyż ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnego t.

b) Założenia:   

Chcemy pokazać:

Podstawiając   i korzystając ze wzoru   otrzymujemy:

(a ∈ (1, ∞), b ∈ (0, 1), więc t<0)

Zmieniamy znak nierówności, ponieważ t<0.

Co kończy dowód, gdyż ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnego t.

W zadaniu korzystamy z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu:

Jeśli a,b,c są liczbami dodatnimi oraz a≠1, b≠1, to:

Rozpisujemy lewą stronę równości doprowadzajac drugi składnik sumy do logarytmu o podstawie 2:  

Rozpisujemy lewą stronę równości doprowadzając oba składniki sumy do logarytmu o podstawie 10:

Rozpisujemy lewą stronę równości doprowadzając oba składniki sumy do logarytmu o podstawie ¹/₃:

Rozpisujemy lewą stronę równości doprowadzając oba składniki sumy do logarytmu o podstawie 2:

Z treści zadania wiemy, że