Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków x1, x2 równania jest równa 6, gdy:
Korzystamy ze wzorów Viete'a.
Równanie ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest równa 6, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków x1, x2 równania jest równa 6, gdy:
Korzystamy ze wzorów Viete'a.
Równanie jest tożsamościowe.
Równanie ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest równa 6, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków x1, x2 równania jest równa 16, gdy:
Korzystamy ze wzorów Viete'a.
Równanie ma dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest równa 16, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):
ponieważ:
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków x1, x2 równania jest równa 16, gdy:
Korzystamy ze wzorów Viete'a.
Równanie ma dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest równa 16, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):
ponieważ:
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Suma odwrotności kwadratów dwóch różnych pierwiastków x1, x2 równania jest równa 7, gdy:
Korzystamy ze wzorów Viete'a.
Równanie ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności kwadratów jest równa 7, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Obliczamy pierwiastki trójmianu po lewej stronie nierówności.
Δa<0, więc trójmian nie ma pierwiastków. Współczynnik przy a2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry i parabola znajduje się nad osią.
Nierówność jest zatem prawdziwa dla dowolnego a, czyli:
Obliczamy sumę odwrotności dwóch różnych pierwiastków x1, x2 równania:
Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania przyjmuje największą wartość, gdy wyrażenie przyjmuje największą wartość. Licznik ułamka jest stały, więc wyrażenie przyjmuje wartość największą, gdy mianownik ułamka, czyli wyrażenie a2+a+1, przyjmuje wartość najmniejszą.
Oznaczmy:
Mianownik ułamka jest funkcją kwadratową zmiennej a. Współczynnik przy a2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry i funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli. Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji f:
Odp. Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania przyjmuje największą wartość dla
Równanie początkowe zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie. Jest nim x=0. W takim razie, aby było to jedyne rozwiązanie równania początkowego, równanie kwadratowe x2-(2m-4)x+m-2=0 musi być (1) sprzeczne lub (2) mieć jedno rozwiązanie, którym jest liczba 0.
(1) Równanie kwadratowe x2-(2m-4)x+m-2=0 jest sprzeczne gdy:
(2) Równanie kwadratowe x2-(2m-4)x+m-2=0 ma jedno rozwiązanie, gdy:
Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru m liczba 0 jest rozwiązaniem równania x2-(2m-4)x+m-2=0:
Łącząc warunki (1) i (2) otrzymujemy, że równanie początkowe ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy:
Równanie początkowe zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie. Jest nim x=-3. W takim razie, aby było to jedyne rozwiązanie równania początkowego, równanie kwadratowe x2+(m+3)x+m2=0 musi być (1) sprzeczne lub (2) mieć jedno rozwiązanie, którym jest liczba -3.
(1) Równanie kwadratowe x2+(m+3)x+m2=0 jest sprzeczne gdy:
(2) Równanie kwadratowe x2+(m+3)x+m2=0 ma jedno rozwiązanie, gdy:
Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru m liczba -3 jest rozwiązaniem równania x2+(m+3)x+m2=0:
Łącząc warunki (1) i (2) otrzymujemy, że równanie początkowe ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy:
Równanie może być liniowe (m=1) lub kwadratowe (m≠1), więc rozważymy dwa przypadki.
Wówczas równanie przyjmuje postać:
Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie.
Wówczas równanie przyjmuje postać:
Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od wyróżnika Δ.
Po uwzględnieniu warunku m≠1, otrzymujemy:
Podsumowując:
Zatem funkcja y=f(m) dana jest wzorem:
Równanie może być liniowe (m2+2m=0) lub kwadratowe (m2+2m≠0), więc rozważymy dwa przypadki.
Dla m=-2 równanie przyjmuje postać:
Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie.
Dla m=0 równanie przyjmuje postać:
Powyższe równanie jest sprzeczne - nie ma rozwiązań.
Wówczas równanie przyjmuje postać:
Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od wyróżnika Δ.
Po uwzględnieniu warunków m≠0 i m≠-2, otrzymujemy:
Po uwzględnieniu warunków m≠0 i m≠-2, otrzymujemy:
Podsumowując:
Zatem funkcja y=f(m) dana jest wzorem:
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Zatem:
Obliczamy iloczyn różnych pierwiastków x1, x2 równania, korzystając ze wzoru Viete'a:
Oznaczmy:
Iloczyn pierwiastków równania jest najmniejszy, gdy funkcja y=f(m) przyjmuje najmniejszą wartość. Współczynnik przy m2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry i funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, o ile należy on do dziedziny funkcji.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
Iloczyn pierwiastków równania jest najmniejszy dla m=-2. Wówczas równanie przyjmuje postać:
Obliczamy pierwiastki równania.
Mianownik ułamka nie może być zerem, więc:
Wyrażenie przy x2 zawsze jest różne od 0, więc powyższe równanie jest równaniem kwadratowym.
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Obliczamy sumę różnych pierwiastków x1, x2 równania, korzystając ze wzoru Viete'a:
Oznaczmy:
Suma pierwiastków równania jest największa, gdy funkcja y=f(m) przyjmuje największą wartość. Współczynnik przy m2 jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu i funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli, o ile należy on do dziedziny funkcji.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
Suma pierwiastków równania jest największa dla m=-1/2. Wówczas równanie przyjmuje postać:
Obliczamy pierwiastki równania.
Podstawiamy x2=t, t⩾0.
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy równanie (B) ma 2 różne pierwiastki dodatnie. Jest tak, gdy spełnione są warunki:
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Nierówność jest tożsamościowa.
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1), (2), (3):
Podstawiamy x2=t, t⩾0.
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy równanie (B) ma 2 różne pierwiastki dodatnie. Jest tak, gdy spełnione są warunki:
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Nierówność jest tożsamościowa.
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1), (2), (3):
Podstawiamy x2=t, t⩾0.
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy równanie (B) ma 2 różne pierwiastki dodatnie. Jest tak, gdy spełnione są warunki:
Nierówność jest tożsamościowa.
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1), (2), (3):
Podstawiamy x2=t, t⩾0.
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy równanie (B) ma 2 różne pierwiastki dodatnie. Jest tak, gdy spełnione są warunki:
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Korzystamy ze wzoru Viete'a:
Równanie (A) ma 4 różne pierwiastki, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1), (2), (3):
Podstawiamy x2=t, t⩾0.
Liczba pierwiastków równania (A) zależy od liczby pierwiastków równania (B):
Ze wzoru Viete'a:
Nierówność jest tożsamościowa.
Ze wzoru Viete'a:
Warunek (2) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (2a), (2b), (2c):
Równanie (A) nie ma pierwiastków, gdy zachodzi jeden w warunków (1) lub (2):
Warunek (1) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1a), (1b):
Ze wzoru Viete'a:
Równanie jest sprzeczne.
W warunku (2b) otrzymaliśmy, że równanie (B) nie ma dwóch pierwiastków, spośród których jeden jest równy 0, więc warunek (2) nie zachodzi. Zatem:
Równanie (A) ma jeden pierwiastek, gdy zachodzi jeden w warunków (1) lub (2):
(czyli równanie (A) nigdy nie ma 1 pierwiastka)
Warunek (1) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1a), (1b):
Ze wzoru Viete'a:
Nierówność jest sprzeczna.
Warunek (2) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (2a), (2b):
Równanie (A) ma dwa pierwiastki, gdy zachodzi jeden w warunków (1) lub (2):
Ze wzoru Viete'a:
Równanie jest sprzeczne.
W warunku (b) otrzymaliśmy, że równanie (B) nie ma dwóch pierwiastków, spośród których jeden jest równy 0, więc równanie (A) nigdy nie ma trzech pierwiastków.
Ze wzoru Viete'a:
Nierówność jest tożsamościowa.
Ze wzoru Viete'a:
Równanie (A) ma cztery pierwiastki, gdy są spełnione jednocześnie warunki (a), (b), (c):
Podsumowując:
Równanie (A) ma:
Podstawiamy x2=t, t⩾0.
Liczba pierwiastków równania (A) zależy od liczby pierwiastków równania (B):
Ze wzoru Viete'a:
Ze wzoru Viete'a:
Nierówność jest tożsamościowa.
Warunek (2) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (2a), (2b), (2c):
Równanie (A) nie ma pierwiastków, gdy zachodzi jeden w warunków (1) lub (2):
Równanie jest sprzeczne.
Warunek (1) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1a), (1b):
Ze wzoru Viete'a:
Ze wzoru Viete'a:
Nierówność jest tożsamościowa.
Warunek (2) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (2a), (2b), (2c):
Równanie (A) ma jeden pierwiastek, gdy zachodzi jeden w warunków (1) lub (2):
Nierówność jest sprzeczna.
Warunek (1) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1a), (1b):
Ze wzoru Viete'a:
Warunek (2) zachodzi, gdy spełnione są jednocześnie warunki (2a), (2b):
Równanie (A) ma jeden pierwiastek, gdy zachodzi jeden w warunków (1) lub (2):
Zauważmy, że sumując trzy powyższe przypadki otrzymamy m ∈ R. Wynika stąd, że są to już wszystkie możliwości - równanie (A) nie może mieć 3 ani 4 pierwiastków.
Podsumowując:
Równanie (A) ma:
Rozwiążemy równanie graficznie.
Przekształcamy trójmian pod wartością bezwzględną do postaci kanonicznej:
Wykres funkcji g(x)=(x+1)2-9 otrzymamy, przesuwając parabolę h(x)=x2 o wektor [-1, -9].
Wykres funkcji f(x)=|x2+2x-8| otrzymamy, szkicując na podstawie wykresu funkcji g(x) wykres funkcji f(x)=|g(x)|.
Równanie f(x)=m ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych ma wykres funkcji f z prostą o równaniu y=m.
Z wykresu odczytujemy liczbę rozwiązań równania f(x)=m w zależności od wartości parametru m.
Równanie ma:
Dla m=-3 mamy równanie liniowe:
Wówczas równanie ma jedno rozwiązanie - m=-3 nie spełnia warunków zadania.
Dla m≠-3 mamy równanie kwadratowe:
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:
Chcemy, by pierwiastki równania spełniały warunek:
Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść nierówność stronami do kwadratu.
Korzystamy ze wzorów Viete'a:
Z definicji wartości bezwzględnej:
Rozważymy więc dwa przypadki:
Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność:
Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność:
Łącząc oba przypadki, otrzymujemy: