a) Oznaczmy:
x, x+6 - szerokość i długość trawnika, zakł. x>0
Powierzchnia trawnika jest równa 216 m2. Stąd:
Rozwiązanie x1 odrzucamy jako sprzeczne z założeniem.
Obliczamy długość trawnika dla x=12:
Odp. Trawnik powinien mieć wymiary 12 m x 18 m.
b) Oznaczmy:
x, x+15 - szerokość i długość trawnika, zakł. x>0
Powierzchnia trawnika jest równa 216 m2. Stąd:
Rozwiązanie x1 odrzucamy jako sprzeczne z założeniem.
Obliczamy długość trawnika dla x=9:
Odp. Trawnik powinien mieć wymiary 9 m x 24 m.
Zakł. x>0.
Aby obliczyć pole pasa, należy od pola dużego prostokąta (o wymiarach (4+2x) m x (8+2x) m) odjąć pole basenu (o wymiarach 4 m x 8 m):
Pole pasa wynosi 45 m2. Stąd:
Rozwiązanie x1 odrzucamy jako sprzeczne z założeniem.
Odp. Pas ma szerokość 1,5 m.
Rysunek pomocniczy:
Zał. x>0.
Powierzchnia placu zabaw wzrosła o 144 m2, więc różnica powierzchni placu zabaw po zwiększeniu jego wymiarów [(18+2x)(12+x)] i różnica powierzchni placu zabaw przed zwiększeniem [18∙12] wynosi 144.
Rozwiązanie x1 odrzucamy jako sprzeczne z założeniem.
Oznaczmy:
z - szerokość ramy, z>0
Rysunek pomocniczy:
a) Określamy dziedzinę:
Zatem:
Powierzchnia obrazu jest równa P. Stąd:
Odp. Szerokość ramy wynosi 10 cm.
b) Określamy dziedzinę:
Zatem:
Powierzchnia obrazu jest równa P. Stąd:
Odp. Szerokość ramy wynosi
Zakł. x>0.
Propozycja A
Obszar pokryty kostką ma powierzchnię 66 m2. Stąd:
Rozwiązanie x1 odrzucamy jako sprzeczne z założeniem.
Odp. x=1,5 m.
Propozycja B
Obszar pokryty kostką ma powierzchnię 78 m2. Stąd:
Rozwiązanie x1 odrzucamy jako sprzeczne z założeniem.
Odp. x=1,5 m.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Zał. x>0.
Obliczamy długość przekątnej prostokąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze nieujemne, ponieważ jest ono sumą kwadratów dwóch wyrażeń.
Sprawdzamy, kiedy długość przekątnej jest większa od 13 cm.
Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu.
Obliczamy pierwiastki trójmianu po lewej stronie nierówności:
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:
Do zbioru rozwiązań nierówności dołączamy założenie: x>0.
Odp. Przekątna nowego prostokąta ma długość większą od 13 cm dla x>2.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Zał. x>0.
Obliczamy długość przekątnej prostokąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze nieujemne, ponieważ jest ono sumą kwadratów dwóch wyrażeń.
Sprawdzamy, kiedy długość przekątnej jest nie mniejsza niż 6 m i nie większa niż 10 m:
Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu.
Rozwiązujemy nierówność (1):
Obliczamy pierwiastki trójmianu po lewej stronie nierówności.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:
Rozwiązujemy nierówność (2):
Obliczamy pierwiastki trójmianu po lewej stronie nierówności.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:
Długość przekątnej jest nie mniejsza niż 6 m i nie większa niż 10 m, gdy spełnione są jednocześnie warunki (1) i (2) oraz założenie x>0:
Mamy:
Zatem:
Wówczas:
`bb"Odp."\ x in <