Powyższa równość jest równoważna poniższym.

Aby wielomiany były równe, muszą zachodzić równości:

Zatem dana równość jest prawdziwa dla każdego x ∈ R, gdy m=2.

Powyższa równość jest równoważna poniższym.

Aby wielomiany były równe, muszą zachodzić równości:

Zatem dana równość jest prawdziwa dla każdego x ∈ R, gdy m=2.

Powyższa równość jest równoważna poniższym.

Aby wielomiany były równe, muszą zachodzić równości:

Zatem dana równość jest prawdziwa dla każdego x ∈ R, gdy m=4.

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Odp. Iloczyn wielomianów f i g jest równy wielomianowi h dla m=3.

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Sprawdzamy, czy m=2 spełnia drugie równanie w układzie.

Zatem rozwiązaniem układu równań jest:

Odp. Iloczyn wielomianów f i g jest równy wielomianowi h dla m=2.

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Z pierwszego i trzeciego równania w układzie uzyskaliśmy inne m, więc układ równań jest sprzeczny.

Odp. Nie istnieje taka wartość parametru m, dla której iloczyn wielomianów f i g jest równy wielomianowi h.

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Odp. Równość jest prawdziwa dla każdego x ∈ R, gdy a=2.

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Odp. Równość jest prawdziwa dla każdego x ∈ R, gdy a=-3.

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Odp. Równość jest prawdziwa dla każdego x ∈ R, gdy a=-8.

a) Wielomian u⋅v-w jest wielomianem zerowym, gdy:

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Sprawdzamy, czy drugie równanie w układzie jest spełnione dla a=2, b=3.

Zatem:

b) Wielomian u⋅v-w jest wielomianem zerowym, gdy:

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Sprawdzamy, czy drugie równanie w układzie jest spełnione dla a=¹/₂, b=-5.

Zatem:

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Sprawdzamy, czy drugie równanie w układzie jest spełnione dla a=0, b=-1.

Zatem:

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Sprawdzamy, czy drugie równanie w układzie jest spełnione dla a=1, b=3.

Zatem:

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Sprawdzamy, czy drugie równanie w układzie jest spełnione dla a=-4, b=2.

Zatem:

Chcemy zapisać wielomian w jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych. Współczynnik przy x⁴ jest równy 1, więc możemy przyjąć, że współczynnik przy x² w każdym z trójmianów również jest równy 1. Wówczas:

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Rozważmy iloczyn bd=-1. Szukamy współczynników całkowitych, więc b=1, d=-1 lub b=-1, d=1.

Przyjmijmy, że b=1, d=-1 i podstawmy te wartości do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy a=c do pozostałych równań w układzie.

Dla c=1 równanie c²=1 jest spełnione.

Podstawiamy c=1 do trzeciego równania w układzie.

Podstawiamy wyznaczone współczynniki do wzoru wielomianu w(x):

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Rozważmy iloczyn bd=-1. Szukamy współczynników całkowitych, więc b=1, d=-1 lub b=-1, d=1.

Przyjmijmy, że b=1, d=-1 i podstawmy te wartości do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy c=a-5 do pierwszego równania w układzie.

Podstawiamy a=3 do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy wyznaczone współczynniki do wzoru wielomianu w(x):

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Rozważmy iloczyn bd=2. Szukamy współczynników całkowitych, więc b=1, d=2 lub b=-1, d=-2 lub b=2, d=1 lub b=-2, d=-1.

Przyjmijmy, że b=1, d=2 i podstawmy te wartości do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy c=-2a+4 do pierwszego równania w układzie.

Podstawiamy a=3 do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy wyznaczone współczynniki do wzoru wielomianu w(x):

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Rozważmy iloczyn bd=-3. Szukamy współczynników całkowitych, więc b=1, d=-3 lub b=-1, d=3 lub b=3, d=-1 lub b=-3, d=1.

Przyjmijmy, że b=1, d=-3 i podstawmy te wartości do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy c=-a do trzeciego równania w układzie.

Podstawiamy a=-1 do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy wyznaczone współczynniki do wzoru wielomianu w(x):

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x, otrzymujemy:

Rozważmy iloczyn bd=-5. Szukamy współczynników całkowitych, więc b=1, d=-5 lub b=-1, d=5 lub b=5, d=-1 lub b=-5, d=1.

Przyjmijmy, że b=1, d=-5 i podstawmy te wartości do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy c=5a-11 do pierwszego równania w układzie.

Podstawiamy a=2 do pozostałych równań w układzie.

Podstawiamy wyznaczone współczynniki do wzoru wielomianu w(x):