a)

Wiemy, że punkt P dzieli odcinek AB w stosunku 2:3, zatem wyznaczmy wektor

Przypadek 1    

Punkt P powstaje przez przesunięcie punktu A o wektor ²/₅AB

Przypadek 2   

Punkt P powstaje przez przesunięcie punktu B o wektor -²/₅AB

b)

Wiemy, że punkt P dzieli odcinek AB w stosunku 3:4.

Przypadek 1   

Punkt A powstaje przez przesunięcie punktu P o wektor -⁴/₇AB

Przypadek 2   

Punkt A powstaje przez przesunięcie punktu P o wektor -³/₇AB

a)

Wiemy, że punkty

są wierzchołkami równoległoboku ABCD.

Natomiast punkt P(2, 0) jest punktem przecięcia przekątnych tego równoległoboku.

Wyznaczamy współrzędne wektora

Możemy zauważyć, że punkt C powstaje przez przesunięcie punktu P o wektor AP  

Wyznaczamy współrzędne wektora

Możemy zauważyć, że punkt D powstaje przez przesunięcie punktu P o wektor BP 

b)

Wiemy, że punkt

jest środkiem boku AB równoległoboku ABCD.

Natomiast punkt S(-1, 1) jest punktem przecięcia przekątnych tego równoległoboku.

Wiemy, że 

zatem skoro punkt P jest środkiem boku AB, to

Punkt A powstaje przez przesunięcie punktu P o wektor BP

Punkt B powstaje przez przesunięcie punktu P o wektor (-BP)

Wyznaczamy współrzędne wektora 

Punkt C powstaje przez przesunięcie punktu S o wektor AS

Wyznaczamy współrzędne wektora 

Punkt D powstaje przez przesunięcie punktu S o wektor BS

Z treści zadania wiemy, że

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka C

Niech

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka B 

Niech

Wyznaczamy równanie prostej, w której zawarta jest wysokość wychodząca z wierzchołka C

Wiemy, że ta prosta jest prostopadła do prostej AB, zatem

więc

Prosta zawierająca wysokość wychodzącą z wierzchołka C, przechodzi przez punkt C     

Wyznaczamy równanie prostej, w której zawarta jest wysokość wychodząca z wierzchołka A

Wiemy, że ta prosta jest prostopadła do prostej BC, zatem

więc

Prosta zawierająca wysokość wychodzącą z wierzchołka A, przechodzi przez punkt A     

Wyznaczamy równanie prostej, w której zawarta jest wysokość wychodząca z wierzchołka B

Wiemy, że ta prosta jest prostopadła do prostej AC, zatem

więc

Prosta zawierająca wysokość wychodzącą z wierzchołka B, przechodzi przez punkt B     

a)

Wiemy, że

Punkt

jest środkiem odcinka BC.

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta.

Wyznaczamy współrzędne wektora 

Punkt B powstaje poprzez przesunięcie punktu S o wektor CS 

Wyznaczamy współrzędne punktu A

Niech

b)

Wiemy, że

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC o podstawie AB i wysokości CD.

Wyznaczamy współrzędne punktu D (punkt D powstaje przez przesunięcie punktu C o wektor [6; 6])

Wyznaczamy współrzędne punktu B

Zauważamy, że

Zatem punkt B powstaje przez przesunięcie punktu D o wektor [2; -2] 

Wyznaczamy współrzędne punktu A

Zauważamy, że

Zatem punkt A powstaje przez przesunięcie punktu D o wektor [-2; 2] 

Wiemy, że

Gdzie punkty A, B, C i D są wierzchołkami trapezu. 

Wyznaczamy współrzędne wektora AB 

Punkt C powstaje przez przesunięcie punktu D o wektor [2; 3] 

Zatem wnioskujemy, że

a)

Wiemy, że

Niech P(x, y) będzie punktem przecięcia przekątnych.

Zauważamy, że trójkąt ABP jest podobny do trójkąta PCD w skali 3.

Wobec tego

czyli

Zatem

Dostajemy

b)

Wiemy, że

Możemy zauważyć, że

Punkt B powstaje w przesunięciu punktu A o wektor [6; 3]

Wiemy, że

Punkt D powstaje w przesunięciu punktu B o wektor [-5; 0]

Z treści zadania wiemy, że 

Punkt C powstaje w przesunięciu punktu D o wektor [2; 1]

a)

Założenia

gdzie punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta.

Teza

gdzie S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC.

Dowód

Niech S(x, y) będzie środkiem ciężkości trójkąta ABC, natomiast D środkiem boku AB. 

Punkt przecięcia środkowych w trójkącie dzieli je w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka, zatem

wobec tego

Zatem

co kończy dowód.

b)

Wiemy, że 

gdzie S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC.

Niech

Korzystając ze wzory na współrzędne środka ciężkości trójkąta dostajemy

Zatem

Do obliczenia pola trójkąta ABC korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych wierzchołkach.

Możemy zauważyć, że punkt (1, -2) nie należy do żadnej z prostych wymienionych w treści zadania, zatem

niech B(1, -2), natomiast wierzchołek A będzie punktem należący do prostej y=-x+3, więc A(x_A, -x_A+3),

punkt C będzie punktem należącym do prostej y=2, wobec tego C(x_C, 2). 

Prosta y=-x+3 oraz y=2 zawierają środkowe trójkąta ABC, więc przecinają się

w punkcie, który jest środkiem ciężkości trójkąta ABC.

Wyznaczmy współrzędne tego punktu

Zatem środek ciężkości trójkąta, to punkt

Środek ciężkości trójkąta ABC możemy również wyznaczyć korzystając ze wzoru, więc

Zatem

Wnioskujemy, że