a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy wyrazy ciągu. 

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu są 4 liczby ujemne. 

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy wyrazy ciągu.

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu są 3 liczby ujemne. 

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy wyrazy ciągu.

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu jest 6 liczb ujemnych. 

d)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy wyrazy ciągu.

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu są 2 liczby ujemne. 

a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru rekurencyjnego. 

Zauważamy, że do obliczenia wyrazu piątego ciągu potrzebujemy znać

wartość wyrazu trzeciego i czwartego. 

Zatem

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru rekurencyjnego. 

Zauważamy, że do obliczenia wyrazu piątego ciągu potrzebujemy znać

wartość wyrazu trzeciego i czwartego. 

Zatem

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru rekurencyjnego. 

Zauważamy, że do obliczenia wyrazu piątego ciągu potrzebujemy znać

wartość wyrazu trzeciego i czwartego. 

Zatem

d)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru rekurencyjnego. 

Zauważamy, że do obliczenia wyrazu piątego ciągu potrzebujemy znać

wartość wyrazu drugiego, trzeciego i czwartego. 

Zatem

Wiemy, że

Należy wyznaczyć wartość x.

a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Zauważamy, że x jest wartością pierwszego wyrazu ciągu. 

Wiemy, że 

Rozpiszmy lewą stronę powyższego równania przy pomocy wzoru rekurencyjnego ciągu.

Dostajemy, że

Wobec tego rozwiązujemy równanie

Ze wzoru ciągu, wiemy, że

Zatem x=20.

Sprawdzamy, czy ciąg (a_n) jest monotoniczny, zatem badamy różnicę

Wnioskujemy, że ciąg (a_n) jest malejący, zatem jest monotoniczny.

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Zauważamy, że x jest wartością pierwszego wyrazu ciągu. 

Wiemy, że 

Rozpiszmy lewą stronę powyższego równania przy pomocy wzoru rekurencyjnego ciągu.

Dostajemy, że

Wobec tego rozwiązujemy równanie

Ze wzoru ciągu, wiemy, że

Zatem x=¹/₆.

Sprawdzamy, czy ciąg (a_n) jest monotoniczny, zatem badamy różnicę

Zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie oraz

zatem każdy kolejny wyraz ciągu będzie większy od poprzedniego.

Wnioskujemy, że ciąg (a_n) jest rosnący, zatem jest monotoniczny.

Z treści zadania wiemy, że wyrazy ciągu są określone za pomocą wzoru:

Rozpiszmy wartość trzeciego wyrazu ciągu korzystając z powyższego wzoru.  

a)

Wiemy, że

Zatem rozwiązujemy poniższe równanie, aby wyznaczyć wartość

wyrazu pierwszego ciągu dla którego spełnione są warunki zadania.

Wnioskujemy, że spełnione są warunki zadania, gdy wartość

pierwszego wyrazu ciągu wynosi: -1 lub 0. 

b)

Wiemy, że

Zatem rozwiązujemy poniższe równanie, aby wyznaczyć wartość

wyrazu pierwszego ciągu dla którego spełnione są warunki zadania.

Gdyby

Wnioskujemy, że spełnione są warunki zadania, gdy wartość

pierwszego wyrazu ciągu wynosi: -2 lub 1. 

a)

Wyznaczamy wartość wyrazu a₄ w każdym z trzech przypadków.

I przypadek 

Wyznaczamy wyraz drugi i trzeci ciągu.

zatem wartość czwartego wyrazu:

II przypadek

Wyznaczamy wyraz drugi i trzeci ciągu.

zatem wartość czwartego wyrazu:

III przypadek

Wyznaczamy wyraz drugi i trzeci ciągu.

zatem wartość czwartego wyrazu:

Wnioskujemy, że nie ma znaczenia, która z liczb: -1, 1 czy 2 będzie wartością

pierwszego wyrazu ciągu. W każdym z trzech przypadków wyraz czwarty

ciągu ma taką samą wartość

co kończy dowód.

b)

Wyznaczamy wartość wyrazu a₄ w każdym z trzech przypadków.

I przypadek

Wyznaczamy wyraz drugi i trzeci ciągu.

zatem wartość czwartego wyrazu:

II przypadek

Wyznaczamy wyraz drugi i trzeci ciągu.

zatem wartość czwartego wyrazu:

III przypadek

Wyznaczamy wyraz drugi i trzeci ciągu.

zatem wartość czwartego wyrazu:

Wnioskujemy, że nie ma znaczenia, która z liczb: -1, 1 czy 2 będzie wartością

pierwszego wyrazu ciągu. W każdym z trzech przypadków wyraz czwarty

ciągu ma taką samą wartość:

co kończy dowód.

a) 

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu (an) korzystając ze wzoru rekurencyjnego i wartości

drugiego wyrazu tego ciągu.  

Zatem należy rozwiązać równanie:

b)

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu (an) korzystając ze wzoru rekurencyjnego i wartości

drugiego wyrazu tego ciągu. 

Zatem należy rozwiązać równanie:

c)

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu (an) korzystając ze wzoru rekurencyjnego i wartości

trzeciego wyrazu tego ciągu. 

Zatem należy rozwiązać równanie:

d) 

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu (an) korzystając ze wzoru rekurencyjnego i wartości

czwartego wyrazu tego ciągu. 

Zatem należy rozwiązać równanie: