Z treści zadania wiemy, że

a)

Badamy monotoniczność ciągu (a_n+b_n).

Zatem ciąg (a_n+b_n) jest rosnący.

b)

Badamy monotoniczność ciągu (a_n-b_n).

Zatem ciąg (a_n-b_n) jest stały.

c)

Badamy monotoniczność ciągu (a_n∙b_n).

Zatem ciąg (a_n∙b_n) jest rosnący.

d)

Badamy monotoniczność ciągu (^a_n/b_n).

Zatem ciąg (^a_n/b_n) jest rosnący.

a)

Założenie:

(an) i (bn) ciągi rosnące.

Wobec tego wiemy, że: 

Wiemy również, że:

Teza:

(cn) - ciąg rosnący

Dowód:

Wyznaczamy różnicę

Wobec tego ciąg (cn) jest ciągiem rosnącym,

co kończy dowód. 

b)

Założenie:

(an) i (bn) ciągi rosnące.

Wobec tego wiemy, że:

Wiemy również, że:

Teza:

(cn) - ciąg rosnący

Dowód:

Zauważamy, że wyrazy ciągu (c_n) są dodatnie.

Wyznaczamy iloraz

Wobec tego ciąg (cn) jest ciągiem rosnącym,

co kończy dowód.

Badamy monotoniczność ciągu (a_n). 

Zatem ciąg (a_n) jest rosnący.  

Badamy monotoniczność ciągu (b_n).

Zatem ciąg (b_n) jest rosnący.  

Wiemy, że

Zauważamy, że wyrazy ciągów (a_n) i (b_n) są dodatnie oraz

Zatem 

czyli ciąg (c_n) jest rosnący,

co należało uzasadnić.

Z treści zadania wiemy, że

Badamy monotoniczność ciągu (a_n).  

Zatem ciąg (a_n) jest rosnący,

co należało uzasadnić.

Badamy monotoniczność ciągu (b_n).

Zatem ciąg (b_n) jest rosnący,

co należało uzasadnić. 

Zapiszmy ogólny wyraz ciągu (c_n).

Wyznaczamy wartości kilku początkowych wyrazów ciągu

Zauważamy, że

wobec tego ciąg (c_n) nie jest monotoniczny.    

Z treści zadania wiemy, że

Badamy monotoniczność ciągu (a_n).  

Zatem ciąg (a_n) jest malejący,

co należało uzasadnić.

Badamy monotoniczność ciągu (b_n).

Zatem ciąg (b_n) jest malejący,

co należało uzasadnić. 

Zapiszmy ogólny wyraz ciągu (c_n).

Badamy monotoniczność ciągu (c_n).

wobec tego ciąg (c_n) jest malejący.    

Zapiszmy ogólny wyraz ciągu (d_n).

Badamy monotoniczność ciągu (d_n).

wobec tego ciąg (d_n) jest stały.    

Z treści zadania wiemy, że

a)

Aby ciąg był rosnący, to musi zachodzić nierówność

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru  

spełniona jest powyższa nierówność. 

Z wykresy funkcji sinus możemy odczytać, że 

Zatem zauważamy, że rozwiązanie nierówności spełniające warunki zadania, to

b)

Aby ciąg był rosnący, to musi zachodzić nierówność

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru 

spełniona jest powyższa nierówność.

Wiemy, że

Z wykresy funkcji cosinus możemy odczytać, że

Dla k=0 dostajemy przedział

Dla k=1 dostajemy przedział

Zatem zauważamy, że rozwiązanie nierówności spełniające warunki zadania, to

Z treści zadania wiemy, że

a)

Niech

Zapisujemy ogólny wyraz ciągu (c_n).  

Badamy monotoniczność ciągu (c_n). 

Dla n=1

Dla n=2

Dla n=3

Zatem zauważamy, że ciąg (c_n) nie jest monotoniczny. 

b)

Niech

Zapisujemy ogólny wyraz ciągu (c_n).  

Badamy monotoniczność ciągu (c_n).

Dla n=1

Dla n=2

Dla n=3

Zatem zauważamy, że ciąg (c_n) nie jest monotoniczny. 

c)

Niech

Zapisujemy ogólny wyraz ciągu (c_n).  

Badamy monotoniczność ciągu (c_n).

Zauważamy, że 

dla n=1

dla n=2 

dla n=3 

dla n=4 

Wobec tego wnioskujemy, że

Zatem zauważamy, że ciąg (c_n) jest niemalejący.   

d)

Niech

Zapisujemy ogólny wyraz ciągu (c_n).  

Badamy monotoniczność ciągu (c_n).

Zauważamy, że 

dla n=1

dla n=2 

dla n=3 

dla n=4 

Wobec tego wnioskujemy, że

Zatem zauważamy, że ciąg (c_n) jest rosnący. 

a)

Ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Zakładamy, że mianownik jest różny od zera, aby wyrażenie miało sens liczbowy, wobec tego

Zauważamy, że pierwszy wyraz ciągu jest dodatni, zatem aby ciąg (a_n) był rosnący, to

każdy kolejny wyraz powinien być większy od poprzedniego, więc wszystkie wyrazy

ciągu (a_n) muszą być dodatnie.

Zakładamy, że

Ponadto, aby ciąg (a_n) był rosnący, to musi być być spełniona nierówność

Skoro

to dostajemy, że

Wobec tego rozwiązujemy nierówność

Wyznaczamy miejsca zerowe powyższej funkcji, aby moc wyznaczyć zbiór rozwiązań nierówności:

Z wykresu funkcji odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności

Wobec tego wnioskujemy, że ciąg (a_n) jest rosnący, gdy

b)

Ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Zauważamy, że pierwszy wyraz ciągu jest dodatni, zatem aby ciąg (a_n) był rosnący, to

każdy kolejny wyraz powinien być większy od poprzedniego, więc wszystkie wyrazy

ciągu (a_n) muszą być dodatnie.

Zakładamy, że

Ponadto, aby ciąg (a_n) był rosnący, to musi być być spełniona nierówność

Skoro

to dostajemy, że

Wobec tego rozwiązujemy nierówność

Skoro n jest liczbą naturalną dodatnią, to widzimy, że aby nierówność była spełniona

dla każdej takiej liczby n, to

Wobec tego wnioskujemy, że ciąg (a_n) jest rosnący, gdy

Symbol [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od x.

a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony za pomocą wzoru

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby móc naszkicować jego wykres 

itd.

Naszkicujmy wykres ciągu (a_n).

Zauważamy, że dla każdego n ∈ N₊ różnica a_n+1-a_n jest równa 0 lub 1.

Zatem ciąg (a_n) jest niemalejący.

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony za pomocą wzoru

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby móc naszkicować jego wykres 

itd.

Naszkicujmy wykres ciągu (a_n).

Zauważamy, że dla każdego n ∈ N₊ różnica a_n+1-a_n jest równa 0 lub (-1).

Zatem ciąg (a_n) jest nierosnący.

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony za pomocą wzoru

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby móc naszkicować jego wykres 

itd.

Naszkicujmy wykres ciągu (a_n).

Zauważamy, że dla każdego n ∈ N₊ różnica a_n+1-a_n jest równa 0 lub 1.

Zatem ciąg (a_n) jest niemalejący.