a)

Skoro mamy wstawić między liczby 1 i 25 pięć liczb, to znaczy, że

Czyli szukamy wartości wyrazów: 

Liczby te mają tworzyć ciąg arytmetyczny, zatem wyznaczamy różnicę tego ciągu

korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

Wobec tego

Dostajemy ciąg o wyrazach:

b)

Skoro mamy wstawić między liczby 1 i 25 siedem liczb, to znaczy, że

Czyli szukamy wartości wyrazów:

Liczby te mają tworzyć ciąg arytmetyczny, zatem wyznaczamy różnicę tego ciągu

korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

Wobec tego

Dostajemy ciąg o wyrazach:

Z treści zadania wiemy, że wzrost pewnego dziecka w kolejnych lata tworzy ciąg arytmetyczny (a_n).

Wobec tego z tabelki odczytujemy, że 

Aby wyznaczyć wartości pozostałych wyrazów ciągu (czyli wzrost dzieci w wieku 4, 5, 7, 8, 9 i 10 lat), należy

wyznaczyć różnicę ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego dostajemy

Obliczamy wzrost dzieci w wieku

• 4 lat

• 5 lat

• 7 lat

• 8 lat

• 9 lat

• 10 lat

Z treści zadania wiemy, że wzrost pewnego dziecka w kolejnych lata tworzy ciąg arytmetyczny (a_n).

Wobec tego z tabelki odczytujemy, że 

Aby wyznaczyć wartości pozostałych wyrazów ciągu (czyli wzrost dzieci w wieku 4, 5, 7, 8, 9 i 10 lat), należy

wyznaczyć różnicę ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego dostajemy

Obliczamy wzrost dzieci w wieku

• 4 lat

• 5 lat

• 7 lat

• 8 lat

• 9 lat

• 10 lat

a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu ciągu oraz jego różnicę.

Dostajemy układ równań 

Odejmujemy stronami od pierwszego równania drugie i dostajemy

Podstawiamy r=-4 do drugiego równania i wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu

Mając wartość pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego i jego różnicę możemy zapisać 

wzór ogólny

Wyznaczamy wartość dwunastego wyrazu ciągu arytmetycznego (a_n).

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu ciągu oraz jego różnicę.

Dostajemy układ równań

Odejmujemy stronami od pierwszego równania drugie i dostajemy

Podstawiamy r=¹/₂ do drugiego równania i wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu

Mając wartość pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego i jego różnicę możemy zapisać 

wzór ogólny

Wyznaczamy wartość dwunastego wyrazu ciągu arytmetycznego (a_n).

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu ciągu oraz jego różnicę.

Dostajemy układ równań

Odejmujemy stronami od pierwszego równania drugie i dostajemy

Podstawiamy r=¹/₄ do drugiego równania i wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu

Mając wartość pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego i jego różnicę możemy zapisać 

wzór ogólny

Wyznaczamy wartość dwunastego wyrazu ciągu arytmetycznego (a_n).

a)

Wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy zapisać, że 

Wobec tego możemy zapisać układ równań podany w treści zadania w postaci 

Podstawiamy wartość a1 z pierwszego równania do drugiego i dostajemy

Podstawiamy r=-5 do pierwszego równania i wyznaczamy wartość a₁

Wnioskujemy, że

b)

Wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy zapisać, że

Wobec tego możemy zapisać układ równań podany w treści zadania w postaci 

c)

Wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy zapisać, że

Wobec tego możemy zapisać układ równań podany w treści zadania w postaci 

Podstawiamy wartość a1 z drugiego równania do pierwszego i dostajemy

Podstawiamy r=2 do drugiego równania i wyznaczamy wartość a₁

Wnioskujemy, że

d)

Wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy zapisać, że

Wobec tego możemy zapisać układ równań podany w treści zadania w postaci 

Podstawiamy wartość a1 z pierwszego równania do drugiego i dostajemy

Podstawiamy r=-¹/₂ do pierwszego równania i wyznaczamy wartość a₁

Wnioskujemy, że

e)

Wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy zapisać, że

Wobec tego możemy zapisać układ równań podany w treści zadania w postaci 

Podstawiamy wartość a1 z pierwszego równania do drugiego i dostajemy

Podstawiamy r do pierwszego równania i wyznaczamy wartość a₁

Wnioskujemy, że

f)

Wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

możemy zapisać, że

Wobec tego możemy zapisać układ równań podany w treści zadania w postaci 

Podstawiamy wartość a1 z pierwszego równania do drugiego i dostajemy

Podstawiamy r do pierwszego równania i wyznaczamy wartość a₁

Wnioskujemy, że

a)

Z treści zadania wiemy, że liczby

są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego.

Oznaczamy podany ciąg arytmetyczny przez (a_n), wobec tego:

Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego.  

Skoro ciąg (a_n) jest rosnącym ciągiem arytmetycznym, to

czyli

Wiemy, że

Wobec tego, aby obliczyć wartość x należy rozwiązać równanie

b)

Z treści zadania wiemy, że liczby

są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego.

Oznaczamy podany ciąg arytmetyczny przez (a_n), wobec tego:

Wyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego.  

Skoro ciąg (a_n) jest rosnącym ciągiem arytmetycznym, to

czyli

Wiemy, że

Wobec tego, aby obliczyć wartość x należy rozwiązać równanie

Biorąc pod uwagę założenie

Dostajemy wniosek: x=10. 

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Aby wyznaczyć, który wyraz ciągu ma wartość 40 należy zapisać wzór ogólny ciągu, zatem

wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu oraz jego różnicę rozwiązując układ równań: 

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że

Wobec tego układ równań możemy zapisać w postaci

Podstawiamy r=3 do pierwszego równania i wyznaczamy wartość a₁ 

Wobec tego dostajemy, że

Zapisujemy wzór ogólny ciągu (a_n)

Sprawdzamy, który wyraz tego ciągu jest równy 40.

Zatem wnioskujemy, że wyraz szesnasty ma wartość 40.   

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że 

Z informacji w zadaniu, wiemy, że r=1, wobec tego:

Podstawiamy powyższe wartości do równania

i dostajemy

Wypisujemy wyrazy ciągu arytmetycznego (a_n) 

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wiemy, że

Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu ciągu, rozwiążmy układ równań 

Podstawiamy wartość a₁ z pierwszego równania do drugiego i wyznaczamy wartość r

Wobec tego

Wiemy, że ostatni wyraz ciągu ma wartość 40, zatem

Wnioskujemy, że

zatem ciąg ma 15 wyrazów.          

a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Aby wyznaczyć liczby tworzące ten ciąg arytmetyczny należy wyznaczyć

wartość pierwszego wyrazu i różnicę ciągu (a_n).

Zatem rozwiązujemy układ równań: 

Ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego mamy:

Wobec tego układ równań możemy zapisać w postaci:

Podstawiamy wartość r z pierwszego równania do drugiego i dostajemy

Wobec tego

Rozwiązanie układu równań jest

Ciąg arytmetyczny tworzą liczby

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz

Ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego mamy:

Wobec tego równanie:

Możemy zapisać w postaci:

Pamiętamy, że r=2, więc

Rozwiązujemy powyższe równanie, aby wyznaczyć wartość a₁

Niech

Zauważamy, że powyższy wielomian W ma pierwiastek: -1, ponieważ

Zatem podzielmy wielomian przez (a₁+1) schematem Hornera

Zauważamy, że pierwiastkiem wielomianu

jest liczba: -5, ponieważ

Zatem podzielmy wielomian P schematem Hornera przez (a₁+5)

Dostajemy

Wobec tego rozwiązujemy równanie

Rozwiązujemy równani kwadratowe przy pomocy wyróżnika:

Wnioskujemy, że

Ciąg arytmetyczny tworzą liczby