a)

Z treści zadania wiemy, że liczby

tworzą ciąg arytmetyczny. 

Odczytujemy, że

Szkicujemy wykres tego ciągu. 

Różnica tego ciągu jest równa (-2), ponieważ

Wyznaczamy wzór ogólny ciągu:

Zauważamy, że wykres tego ciągu zawiera się w prostej o równaniu

b)

Z treści zadania wiemy, że wykres ciągu arytmetycznego jest zawarty w prostej

Zatem wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a_n) możemy zapisać w postaci

Wyznaczamy pięć początkowych wyrazów tego ciągu

Sprawdzamy wynikanie w obie strony.

1.

Załóżmy, że wykres ciągu (a_n) zawiera się w prostej o równaniu

Wobec tego wzór ogólny ciągu możemy zapisać w postaci 

Sprawdzamy, czy ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym

Różnica jest stała dla każdego n ∈ N₊, zatem ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetyczny,   

co należało wykazać.

2.

Załóżmy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Wobec tego istnieją a₁, r ∈ R takie, że dla każdego n ∈ N₊

Zatem wykres ciągu (a_n) zawiera się w prostej

co należało wykazać.

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) ma wzór ogólny postaci

a)

Obliczamy pięć początkowych wyrazów ciągu (a_n). 

b)

Zauważamy, że 

Wobec tego

Zatem ciąg (a_n) nie jest ciągiem arytmetycznym,

co kończy dowód. 

a)

Sprawdzamy wartość różnicy 

Różnica jest stała dla każdego n ∈ N+, zatem ciąg (a_n) jest arytmetyczny. 

b)

Sprawdzamy wartość różnicy 

Różnica jest stała dla każdego n ∈ N+, zatem ciąg (a_n) jest arytmetyczny. 

c)

Sprawdzamy wartość różnicy 

Różnica nie jest stała dla każdego n ∈ N+, zatem ciąg (a_n) nie jest arytmetyczny. 

d)

Sprawdzamy wartość różnicy 

Różnica jest stała dla każdego n ∈ N+, zatem ciąg (a_n) jest arytmetyczny. 

e)

Sprawdzamy wartość różnicy 

Różnica jest stała dla każdego n ∈ N+, zatem ciąg (a_n) jest arytmetyczny. 

f)

Sprawdzamy wartość różnicy 

Różnica nie jest stała dla każdego n ∈ N+, zatem ciąg (a_n) nie jest arytmetyczny. 

a)

Założenia:  

(a_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

Teza: 

(b_n)- ciąg arytmetyczny, czyli różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

Dowód: 

Z założenia wiemy, że różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, zatem iloczyn

3(a_n+1 - a_n) również jest stały dla każdego n ∈ N+.

Wnioskujemy, że różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊

wobec tego ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym, 

co kończy dowód.

b)

Założenia:  

(a_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

Teza:

(b_n)- ciąg arytmetyczny, czyli różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

Dowód:

Z założenia wiemy, że różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, zatem wyrażenie

-2(a_n+1 - a_n)+1 również przyjmuje stałą wartość dla każdego n ∈ N₊.

Wnioskujemy, że różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊

wobec tego ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym, 

co kończy dowód.

c)

Założenia:  

(a_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N+. 

Teza:

(b_n)- ciąg arytmetyczny, czyli różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N+. 

Dowód:

Z założenia wiemy, że różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, zatem iloczyn

-¹/₄(a_n+1 - a_n) również jest stały dla każdego n ∈ N₊.

Wnioskujemy, że różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊

wobec tego ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym, 

co kończy dowód.

a)

Założenia:  

(a_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N+. 

(b_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N+. 

Teza: 

(c_n)- ciąg arytmetyczny, czyli różnica c_n+1 - c_n jest stała dla każdego n ∈ N₊ 

Dowód: 

Z założenia wiemy, że różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊

oraz różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊.

Wobec tego wartość wyrażenia 2(a_n+1 - a_n)+3(b_n+1 - b_n) również jest stała

dla każdego n ∈ N₊.

Wnioskujemy, że różnica c_n+1 - c_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, więc

ciąg (c_n) jest ciągiem arytmetycznym, 

co kończy dowód.

b)

Założenia:  

(a_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

(b_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica b_n+1 - bn jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

Teza: 

(c_n)- ciąg arytmetyczny, czyli różnica c_n+1 - c_n jest stała dla każdego n ∈ N₊ 

Dowód:

Z założenia wiemy, że różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊

oraz różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊.

Wobec tego wartość wyrażenia 3(a_n+1 - a_n)-4(b_n+1 - b_n)+¹/₂ również jest stała

dla każdego n ∈ N₊.

Wnioskujemy, że różnica c_n+1 - c_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, więc

ciąg (c_n) jest ciągiem arytmetycznym, 

co kończy dowód.

c)

Założenia:  

(a_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

(b_n)- ciąg arytmetyczny, zatem różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊. 

Teza: 

(c_n)- ciąg arytmetyczny, czyli różnica c_n+1 - c_n jest stała dla każdego n ∈ N₊ 

Dowód:

Z założenia wiemy, że różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊

oraz różnica b_n+1 - b_n jest stała dla każdego n ∈ N₊.

Wobec tego wartość wyrażenia ¹/₃(4(a_n+1 - a_n)-√2(b_n+1 - b_n)) również jest stała

dla każdego n ∈ N₊.

Wnioskujemy, że różnica c_n+1 - c_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, więc

ciąg (c_n) jest ciągiem arytmetycznym, 

co kończy dowód.