a)

Z treści zadania wiemy, że wykres ciągu (a_n) jest zawarty w prostej o równaniu

Wobec tego wzór ogólny ciągu możemy zapisać w postaci 

Wyznaczamy wartości czterech początkowych wyrazów ciągu (a_n).  

b)

Z treści zadania wiemy, że wykres ciągu (a_n) jest zawarty w prostej o równaniu

Wobec tego wzór ogólny ciągu możemy zapisać w postaci 

Wyznaczamy wartości czterech początkowych wyrazów ciągu (a_n).  

c)

Z treści zadania wiemy, że wykres ciągu (a_n) jest zawarty w prostej o równaniu

Wobec tego wzór ogólny ciągu możemy zapisać w postaci 

Wyznaczamy wartości czterech początkowych wyrazów ciągu (a_n).  

a)

Wiemy, że wykres ciągu arytmetycznego zawiera się w prostej będącej wykresem funkcji liniowej.

Z rysunku odczytujemy, że zaznaczone punkty, to punkty o współrzędnych (1, -1) oraz (5, 1).

Wobec tego wyznaczmy wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez zaznaczone punkty.

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej

Podstawiamy do równania

współrzędne jednego z punktów, np. punktu (1, -1) i wyznaczamy wartość współczynnika b.

Wnioskujemy, że równanie prostej ma postać

Wobec tego, jeżeli wykres ciągu zawiera się w prostej, to jego wzór ogólny możemy zapisać jako:

Sprawdzamy, które wyrazy ciągu (a_n) są większe od zera.

Rozwiązujemy nierówność

Zatem wnioskujemy, że

b)

Wiemy, że wykres ciągu arytmetycznego zawiera się w prostej będącej wykresem funkcji liniowej.

Z rysunku odczytujemy, że zaznaczone punkty, to punkty o współrzędnych (3, 3) oraz (5, -1).

Wobec tego wyznaczmy wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez zaznaczone punkty.

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej

Podstawiamy do równania

współrzędne jednego z punktów, np. punktu (3, 3) i wyznaczamy wartość współczynnika b.

Wnioskujemy, że równanie prostej ma postać

Wobec tego, jeżeli wykres ciągu zawiera się w prostej, to jego wzór ogólny możemy zapisać jako:

Sprawdzamy, które wyrazy ciągu (a_n) są większe od zera.

Rozwiązujemy nierówność

Zatem wnioskujemy, że

c)

Wiemy, że wykres ciągu arytmetycznego zawiera się w prostej będącej wykresem funkcji liniowej.

Z rysunku odczytujemy, że zaznaczone punkty, to punkty o współrzędnych (2, 2) oraz (6, 1).

Wobec tego wyznaczmy wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez zaznaczone punkty.

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej

Podstawiamy do równania

współrzędne jednego z punktów, np. punktu (2, 2) i wyznaczamy wartość współczynnika b.

Wnioskujemy, że równanie prostej ma postać

Wobec tego, jeżeli wykres ciągu zawiera się w prostej, to jego wzór ogólny możemy zapisać jako:

Sprawdzamy, które wyrazy ciągu (a_n) są większe od zera.

Rozwiązujemy nierówność

Zatem wnioskujemy, że

a)

Ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy różnicę i określamy jej znak 

Zauważamy, że różnica a_n+1-a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, zatem

ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Różnica a_n+1-a_n jest dodatnia, wobec tego ciąg arytmetyczny (a_n) jest ciągiem rosnącym,

co należało uzasadnić.

Wiemy, że

zatem możemy wyznaczyć wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a_n).

Obliczamy wartość dziesiątego wyrazu ciągu (a_n).

b)

Ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

Wyznaczamy różnicę i określamy jej znak

Zauważamy, że różnica a_n+1-a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊, zatem

ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Różnica a_n+1-a_n jest dodatnia, wobec tego ciąg arytmetyczny (a_n) jest ciągiem rosnącym,

co należało uzasadnić.

Wiemy, że

zatem możemy wyznaczyć wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a_n).

Obliczamy wartość dziesiątego wyrazu ciągu (a_n).

a)

Założenia:  

Teza: 

(a_n) - ciąg arytmetyczny, czyli różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊ 

Dowód: 

Możemy zapisać, że:

Wobec tego wzór ciągu (a_n) zapisujemy w postaci:

Wyznaczamy różnicę:

Różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊ wobec tego

ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym,

co kończy dowód.  

b)

Założenia:  

Teza: 

(a_n) - ciąg arytmetyczny, czyli różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊ 

Dowód: 

Możemy zapisać, że:

Wobec tego wzór ciągu (a_n) zapisujemy w postaci:

Wyznaczamy różnicę:

Różnica a_n+1 - a_n jest stała dla każdego n ∈ N₊ wobec tego

ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym,

co kończy dowód.  

a)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej 

Zakładamy, że

ponieważ są to długości boków trójkąta.

Wobec tego

czyli

Liczby:

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 3. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu ciągu.

Wnioskujemy, że trójkąt ma boki długości:

Wyznaczamy obwód trójkąta:

b)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej 

Zakładamy, że

ponieważ są to długości boków trójkąta.

Wobec tego

czyli

Liczby:

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy r. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wartość różnicy ciągu.

Wnioskujemy, że trójkąt ma boki długości:

zatem przyprostokątne mają długości: 6 i 8.

a)

Dowodzimy wynikanie w obie strony.

1.

Niech 

będą długościami boków trójkąta prostokątnego, które

tworzą ciąg arytmetyczny.

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego jest jego przeciwprostokątną.

Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

Wobec tego długości boków trójkąta są równe:

Zatem trójkąt o podanych wyżej długościach boków jest podobny do trójkąta

o bokach długości 3, 4, 5 na podstawie cechy bok-bok-bok w skali

co kończy dowód.

2.

Niech

będą długościami boków trójkąta prostokątnego podobnego do trójkąta

o bokach długości 3, 4, 5.

Zauważamy, że

czyli trójkąt o bokach długości 3r, 4r, 5r jest trójkątem prostokątnym

oraz różnica pomiędzy kolejnymi bokami trójkąta jest taka sama:

wobec tego długości boków trójkąta

tworzą ciąg arytmetyczny,

co kończy dowód.

b)

Niech

będą długościami boków trójkąta prostokątnego tworzącymi ciąg arytmetyczny.

Wiemy, że 

Korzystając z udowodnionej własności w podpunkcie a)  możemy zapisać, że

długości boków trójkąta są równe:

więc

Wobec tego długości boków trójkąta mają miary:

Zatem pole trójkąta:

a)

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru k ciąg (a_n) jest arytmetyczny i malejący.

Czyli różnica

musi być stała i mniejsza od 0 dla każdego n ∈ N₊.  

Wobec tego wyznaczamy wartość różnicy 

Zauważamy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym dla dowolnego k ∈ R.

Sprawdźmy, dla jakiego k ciąg (a_n) jest malejący

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności

Wobec tego dla

ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym i malejącym.

b)

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru k ciąg (a_n) jest arytmetyczny i malejący.

Pamiętamy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, jeśli jego wykres zawiera się w prostej.

Wobec tego, aby równanie

było równaniem prostej, to: 

wtedy:

Aby ciąg (a_n) był malejący, to

Wobec tego ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym i malejącym, gdy

spełnione są jednocześnie warunki:

Wnioskujemy, że dla k=-1 ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym i malejącym.

a)

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru k ciąg (a_n) jest arytmetyczny i rosnący.

Wykres ciągu (a_n) zawiera się w prostej 

wobec tego ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym. 

Ciąg (a_n) jest rosnący, gdy

Z wykresu funkcji trygonometrycznej sinus i tabelki wartości odczytujemy, że

Wnioskujemy, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny i rosnący, gdy

b)

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru k ciąg (a_n) jest arytmetyczny i rosnący.

Wykres ciągu (a_n) zawiera się w prostej

wobec tego ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym. 

Ciąg (a_n) jest rosnący, gdy

Z wykresu funkcji trygonometrycznej cosinus i tabelki wartości odczytujemy, że

Wnioskujemy, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny i rosnący, gdy