a)

Jeśli do ramienia końcowego kąta 𝛼 należy punkt P(3, 3√3), to korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens możemy wyznaczyć miarę tego kąta. 

Zatem

b)

Korzystając z podpunktu a) możemy wywnioskować, że ramię końcowe kąta  𝛼 pokrywa się z ramieniem końcowym kąta 60º.

Zatem

c)

Korzystając z podpunktu a) możemy wywnioskować, że ramię końcowe kąta  𝛼 pokrywa się z ramieniem końcowym kąta 60º.

Zatem

Z treści zadania wiemy, że do ramienia końcowego kąta należy punkt P(-√3, 1) zatem ramię końcowe kąta jest położone w II ćwiartce układu współrzędnych.

Wyznaczmy, z definicji funkcji trygonometrycznej tangens, miarę dodatniego kąta 𝛼. 

Wiemy, że 

Ze wzorów redukcyjnych

Stąd 

Wnioskujemy, że punkt P należy do ramienia końcowego kątów o mierze

a)

Zatem punkt P należy do ramienia końcowego kąta 𝛼.

b)

Zatem punkt P należy do ramienia końcowego kąta 𝛼.

c)

Zatem punkt P należy do ramienia końcowego kąta 𝛼.

d)

Zatem punkt P należy do ramienia końcowego kąta 𝛼.

e)

Zatem punkt P należy do ramienia końcowego kąta 𝛼.

f)

Zatem punkt P nie należy do ramienia końcowego kąta 𝛼.

a)

b) 

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

a)

Wiemy, że   

lub 

Zatem 

lub

Odp: 𝛼=390º 

b)

Wiemy, że 

lub 

Zatem

lub

Odp: 𝛼=1110º

c)

Wiemy, że 

lub 

Zatem

lub

Odp: 𝛼=780º

d)

Wiemy, że 

Ze wzoru redukcyjnego dostajemy

lub

Zatem

lub 

Odp: 𝛼=495º

e)

Wiemy, że 

Ze wzoru redukcyjnego dostajemy

lub

Zatem

lub 

Odp: 𝛼=870º

f)

Wiemy, że 

lub

Zatem

lub 

Odp: 𝛼=-300º

a)

Wiemy, że 

Zatem dla kątów 

dostajemy sin𝛼=0  

b) 

Wiemy, że 

Zatem dla kątów 

dostajemy cos𝛼=0  

c)

Wiemy, że 

Zatem dla kątów 

dostajemy tg𝛼=0  

d)

Wiemy, że 

Zatem dla kątów 

dostajemy ctg𝛼=0  

a)

Jeżeli ramię końcowe kąta jest zawarte w wykresie funkcji

to ramię końcowe tego kąta jest położone w    II lub IV ćwiartce układu współrzędnych. 

Zauważamy, że do wykresu funkcji f należy punkt P(-1,1).

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy

Wiemy, że

Zatem ze wzorów redukcyjnych 

lub

Dostajemy, że kąty których ramię końcowe jest zawarte w wykresie funkcji f(x)=-x to kąty

Wnioskujemy, że kąty z przedziału ⟨0°; 500°〉 spełniające warunki zadania, to kąty o mierze: 135°, 315° oraz 495°.

Suma miar tych kątów: 135°+315°+495°=945°.

b)

Jeżeli ramię końcowe kąta jest zawarte w wykresie funkcji

to ramię końcowe tego kąta jest położone w I lub III ćwiartce układu współrzędnych. 

Zauważamy, że do wykresu funkcji f należy punkt P(1,√3).

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy

Wiemy, że

lub 

Dostajemy, że kąty których ramię końcowe jest zawarte w wykresie funkcji f(x)=√3x to kąty

Wnioskujemy, że kąty z przedziału ⟨0°; 500°〉 spełniające warunki zadania, to kąty o mierze: 60°, 240° oraz 420°.

Suma miar tych kątów: 60°+240°+420°=720°.

Zauważmy, że

Zatem 

Zauważmy, że ramiona końcowe kątów o mierze 390°, 420°, 450°,..., 690°, 720° pokrywają się odpowiednio

z ramionami końcowymi kątów o mierze 30°, 60°, 90°,..., 330°, 360°, więc

Obliczmy sumę 

Zauważmy, że

Więc dostajemy

Podsumowując

Odp: Wartość podanego wyrażenia jest liczbą całkowitą.

a)

W czasie godziny punkt na końcu wskazówki zegara zatoczy jeden pełny okrąg, czyli obróci się o 360°. Zatem pokona ona drogę (s) równą długości okręgu o promieniu 10 cm (promień okręgu jest równy długości wskazówki minutowej zegara).

Dostajemy 

b)

W czasie 250 minut (4 godziny 10 minut) punkt na końcu wskazówki zegara zatoczy cztery pełne okręgi oraz 1/6 okręgu, czyli obróci się o 4 · 360°+60°.

Dostajemy 

c)

W czasie doby punkt na końcu wskazówki zegara zatoczy 24 pełne okręgi, czyli obróci się o 24 · 360°.

Dostajemy

d)

W czasie roku punkt na końcu wskazówki zegara zatoczy 8760 lub 8784 pełnych okręgów (24 godziny · 365 dni lub 24 godziny · 366 dni), czyli obróci się o 8760 · 360° lub 8784 · 360°.

Dostajemy

lub 

Oznaczmy przez r długość wskazówki minutowej zegara. Wobec tego wskazówka godzinowa zegara ma długość 0,75r. 

Punkt na końcu wskazówki minutowej zegara przebył drogę 36 cm. Zatem możemy zapisać

W czasie, gdy wskazówka minutowa zatacza łuk o mierze 𝛼, wskazówka godzinowa zatacza łuk o mierze 12 razy mniejszej (np. w ciągu godziny wskazówka minutowa wykonuje obrót o 360º, a w tym czasie wskazówka godzinowa - obrót o 30º) .

Obliczmy, jaką drogę w tym samym czasie przebył punkt na końcu wskazówki godzinowej zegara.

Odp: Punkt na końcu wskazówki godzinowej zegara przebył drogę równą 2,25 cm.