a)

Z treści zadania wiemy, że:

Wyznaczamy wyraz:

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy: 

Wnioskujemy, że:

wobec tego ciąg jest malejący. 

b)

Z treści zadania wiemy, że:

Wyznaczamy wyraz:

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy:

Wnioskujemy, że:

wobec tego ciąg jest rosnący. 

c)

Z treści zadania wiemy, że:

Wyznaczamy wyraz:

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy:

Wnioskujemy, że:

wobec tego ciąg jest malejący. 

d)

Z treści zadania wiemy, że:

Wyznaczamy wyraz:

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy:

Wnioskujemy, że:

wobec tego ciąg jest malejący. 

a)

Z treści zadania wiemy, że:

Badamy monotoniczność ciągu określonego rekurencyjnie:

Wnioskujemy, że 

więc ciąg jest rosnący.  

b)

Z treści zadania wiemy, że:

Badamy monotoniczność ciągu określonego rekurencyjnie:

Wnioskujemy, że

więc ciąg jest malejący.  

c)

Z treści zadania wiemy, że:

Badamy monotoniczność ciągu określonego rekurencyjnie:

Zauważamy, że:

więc:

Wnioskujemy, że ciąg nie jest monotoniczny.  

d)

Z treści zadania wiemy, że:

Badamy monotoniczność ciągu określonego rekurencyjnie:

Wnioskujemy, że

więc ciąg jest rosnący.  

a)

Ciąg (a_n) jest rosnący, gdy różnica:

jest stała dla każdego n będącego liczbą naturalną dodatnią. 

Sprawdzamy wartość różnicy: 

Zauważamy, że wyrażenie

dla dowolnego a_n i n ∈ N₊, zatem ciąg jest rosnący dla każdej

wielkości parametru t.

b)

Ciąg (a_n) jest rosnący, gdy różnica:

jest stała dla każdego n będącego liczbą naturalną dodatnią. 

Sprawdzamy wartość różnicy:

Zauważamy, że wyrażenie

dla dowolnego a_n i n ∈ N₊, zatem ciąg jest rosnący dla każdej

wielkości parametru t.

a)

Z treści zadania wiemy, że

Sprawdzamy, czy ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym. 

Aby ciąg (a_n) był ciągiem arytmetycznym, to różnica:

musi być stała dla każdego n będącego liczbą naturalną dodatnią.   

Z danych możemy zauważyć, że dla n=1:

Natomiast dla n>1 dostajemy:

zatem wyznaczamy ostatni wyraz ciągu:

Widzimy, że:

Zatem różnica:

Wnioskujemy, że różnica jest stała dla każdego n będącego

liczbą naturalną dodatnią, zatem ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

b)

Z treści zadania wiemy, że

Sprawdzamy, czy ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym. 

Aby ciąg (a_n) był ciągiem arytmetycznym, to różnica:

musi być stała dla każdego n będącego liczbą naturalną dodatnią.  

Z danych możemy zauważyć, że dla n=1:

Natomiast dla n>1 dostajemy:

zatem wyznaczamy ostatni wyraz ciągu:

Widzimy, że:

Zatem różnica:

Wnioskujemy, że różnica nie jest stała dla każdego n będącego

liczbą naturalną dodatnią, zatem ciąg (a_n) nie jest ciągiem arytmetycznym. 

Założenia:

(a, b, c) - ciąg arytmetyczny i geometryczny

r - różnica ciągu arytmetycznego 

Teza:

(a, b, c) - ciąg stały

Dowód:

Korzystając z założeń możemy zapisać, że: 

oraz skoro ciąg (a, b, c) jest geometryczny, to zachodzi zależność:

Po podstawieniu do powyższego równania założeń, otrzymujemy:

Zatem wnioskujemy, że ciąg (a, b, c) jest stały,

co kończy dowód.

a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, gdzie:

Natomiast:

Należy wyznaczyć wartości wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli: 

Wobec tego musimy wyznaczyć wartość różnicy ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz.

Wyrazy ciągu geometrycznego możemy zapisać w postaci:

Korzystając z zależności zachodzącej pomiędzy sąsiednimi wyrazami

ciągu geometrycznego dostajemy równanie:

Sumę podaną w treści zadania możemy zapisać w postaci:

Rozwiązujemy układ równań:

Podstawiamy wartość pierwszego wyrazu z pierwszego równania do drugiego i dostajemy:

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego:

Wnioskujemy, że

Liczby tworzące ciąg arytmetyczny, to:

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym, gdzie:

Natomiast:

Należy wyznaczyć wartości wyrazów ciągu geometrycznego, czyli: 

Wobec tego musimy wyznaczyć wartość ilorazu ciągu geometrycznego oraz jego pierwszy wyraz.

Wyrazy ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci:

Korzystając z zależności zachodzącej pomiędzy sąsiednimi wyrazami

ciągu arytmetycznego dostajemy równanie:

Sumę podaną w treści zadania możemy zapisać w postaci:

Rozwiązujemy układ równań:

Dzielimy stronami pierwsze równanie przez drugie i dostajemy:

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu:

Wnioskujemy, że

Liczby tworzące ciąg geometryczny, to:

Z treści zadania wiemy, że ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym, gdzie:

Natomiast ciąg:

Należy wyznaczyć wartości trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego.

Niech:

Sumę trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego możemy

zapisać w postaci: 

Korzystając z zależności zachodzącej pomiędzy sąsiednimi

wyrazami w ciągu arytmetycznego, dostajemy:

powyższe równanie możemy zapisać w postaci: 

Wobec tego, rozwiązujemy układ równań:

Dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze i dostajemy:

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu:

Dostajemy:

Wnioskujemy, że pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego, to:

a)

Z treści zadania wiemy, że dany jest skończonym

ciąg geometryczny o parzystej liczbie wyrazów, gdzie:

Ciąg złożony z wyrazów o numerach parzystych ma dwa razy mniej wyrazów

niż ciąg o parzystej liczbie wyrazów.

Należy wyznaczyć wartość piątego wyrazu tego ciągu.

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

i dostajemy równanie: 

Wobec tego:

b)

Z treści zadania wiemy, że dany jest ciąg geometryczny, gdzie:

Należy wyznaczyć wartość siódmego wyrazu tego ciągu.

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

i dostajemy równanie:

Wobec tego: