| Liczba f'(x0) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)). |
a)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Obliczamy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f:
b)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Obliczamy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f:
c)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Obliczamy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f:
d)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Obliczamy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f:
| Jeśli funkcja f ma w punkcie x0 pochodną, to styczną do wykresu tej funkcji w punkcie (x0, f(x0)) jest prosta o równaniu:
|
a)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=2:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
b)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=1:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
c)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=1:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
d)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=-1:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
e)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=4:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
f)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=-3:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
g)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=-1:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
h)
Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu x0=2:
Wobec tego:
Wyznaczamy funkcję pochodną:
Zatem:
Wobec tego równanie stycznej możemy zapisać korzystając ze wzoru:
a)
Jeżeli istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a, to:
Zatem sprawdzamy czy powyższe równanie ma rozwiązanie.
Wyznaczamy funkcję pochodną:
wobec tego:
Sprawdzamy, czy poniższe równanie ma rozwiązanie:
Zauważmy, że funkcja y = 4x03 - 12x02 + 1 jest ciągła oraz dla x0 = 0 przyjmuje wartość y = 0 - 0 + 1 = 1,
natomiast dla x0 = 1 przyjmuje wartość y = 4 - 12 + 1 = -7.
Zauważamy, że:
zatem w przedziale (0, 1) istnieje taka liczba c, że f(c)=0, czyli funkcja ma miejsce zerowe.
Korzystając z twierdzenia Darboux wnioskujemy, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Zatem istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a.
b)
Jeżeli istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a, to:
Zatem sprawdzamy czy powyższe równanie ma rozwiązanie.
Wyznaczamy funkcję pochodną:
wobec tego:
Rozwiązujemy równanie:
Zatem istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a.
c)
Jeżeli istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a, to:
Zatem sprawdzamy czy powyższe równanie ma rozwiązanie.
Wyznaczamy funkcję pochodną:
wobec tego:
Rozwiązujemy równanie:
Zatem istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a.
d)
Jeżeli istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a, to:
Zatem sprawdzamy czy powyższe równanie ma rozwiązanie.
Wyznaczamy funkcję pochodną:
wobec tego:
Rozwiązujemy równanie:
Zatem istnieje styczna do wykresu funkcji f mająca współczynnik kierunkowy równy a.
Wiemy, że wartość współczynnika kierunkowego prostej stycznej do wykresu funkcji f jest równa:
Z treści zadania wiemy, że styczna do wykresu funkcji f jest równoległa do prostej
zatem współczynnik kierunkowy stycznej jest równy:
a)
Wyznaczamy równanie stycznej korzystając ze wzoru:
Wyznaczmy pochodną funkcji f:
Wobec tego:
Skoro:
to dostajemy:
Zatem:
Wnioskujemy, że punkt styczności ma współrzędne:
Wyznaczamy równania stycznych:
1)
2)
b)
Wyznaczamy równanie stycznej korzystając ze wzoru:
Wyznaczmy pochodną funkcji f:
Wobec tego:
Skoro:
to dostajemy:
Zatem:
lub
Wnioskujemy, że punkt styczności ma współrzędne:
Wyznaczamy równania stycznych:
1)
2)
| Każda z funkcji trygonometrycznych ma pochodną we wszystkich punktach swojej dziedziny.
|
a)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Zatem:
b)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Zatem:
c)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Zatem:
d)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Zatem:
| Każda z funkcji trygonometrycznych ma pochodną we wszystkich punktach swojej dziedziny.
|
a)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
b)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
c)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
d)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
e)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
g)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
h)
zatem:
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
i)
zatem:
Wyznaczamy pochodną funkcji f: