| Wartością najmniejszą (największą) funkcji ciągłej f w przedziale ⟨a, b〉 może być jedna z liczb f(a), f(b) lub jedno z ekstremów lokalnych. |
a)
Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.
Wobec tego jest również ciągła w ⟨1, 4〉.
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':
Rozwiązujemy równanie:
Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':
Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:
Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=2 z ujemnego na dodatni.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x0=2:
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
b)
Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.
Wobec tego jest również ciągła w ⟨0, 2〉.
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':
Rozwiązujemy równanie:
Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':
Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:
Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=1/2 z ujemnego na dodatni.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x0=1/2:
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
| Wartością najmniejszą (największą) funkcji ciągłej f w przedziale ⟨a, b〉 może być jedna z liczb f(a), f(b) lub jedno z ekstremów lokalnych. |
a)
Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.
Wobec tego jest również ciągła w ⟨0, 2〉.
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':
Rozwiązujemy równanie:
Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':
Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:
Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=1 z ujemnego na dodatni.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x0=1:
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
b)
Zauważamy, że funkcja f jest jest funkcją ciągłą.
Wobec tego jest również ciągła w ⟨1, 3〉.
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':
Rozwiązujemy równanie:
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
c)
Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.
Wobec tego jest również ciągła w ⟨-2, 2〉.
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':
Rozwiązujemy równanie:
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
Zatem:
Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':
Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:
Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=0 oraz x0=2 z ujemnego na dodatni.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x0=0 oraz w punkcie x0=2 równe:
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=1 z dodatniego na ujemny.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x0=1 równe:
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
d)
Zauważamy, że funkcja f jest funkcją ciągłą.
Wobec tego jest również ciągła w ⟨-3, 0〉.
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':
Rozwiązujemy równanie:
Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji:
Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:
Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=-√5 z dodatniego na ujemny.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x0=-√5:
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
| Wartością najmniejszą (największą) funkcji ciągłej f w przedziale ⟨a, b〉 może być jedna z liczb f(a), f(b) lub jedno z ekstremów lokalnych. |
Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':
Rozwiązujemy równanie:
Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':
Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:
Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=2 z ujemnego na dodatni.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x0=2:
(Pochodna zmienia znak w punkcie x0=0 z dodatniego na ujemny.)
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x0=0:
a)
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
b)
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
c)
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem:
d)
Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:
Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:
Zauważamy, że:
Zatem: