a)

Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-√2 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-√2:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(0)=1 
• największa wartość: f(-√2)=4√2+1

b)

Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna nie zmienia znaku w punkcie x₀=0.)

Wnioskujemy, że funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x₀=0:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(-2)=-10 
• największa wartość: f(1)=11

c)

Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-1 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-1:

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=3 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=3:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(3)=-25 
• największa wartość: f(-1)=7

d)

Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-1 oraz w punkcie x₀=1 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-1 oraz w punkcie x₀=1:

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=0:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(-2)=f(2)=-2 
• największa wartość: f(-1)=f(1)=7

a)

Funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨-1, 1〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=0:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(0)=2/3 
• największa wartość: f(-1)=f(1)=3/4 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

b)

Funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨4, 7〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=6 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=6:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(6)=12 
• największa wartość: f(4)=16 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

c)

Funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨1, 2〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=⁴/₃ z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=⁴/₃:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(⁴/₃)=-¹/₈ 
• największa wartość: f(1)=f(2)=0 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

d)

Funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨-3, 3〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=-1:

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=1 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=1:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(-1)=-2 
• największa wartość: f(1)=2 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

e)

Funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨-2, 3〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=0:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(3)=¹/₁₀₀ 
• największa wartość: f(0)=1 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

f)

Funkcja f jest ciągła w przedziale ⟨-1, 2〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=0:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(0)=¹/₂
• największa wartość: f(-1)=1 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

Funkcja f jest funkcją wielomianową, zatem funkcja f jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

Rozwiązujemy równanie:

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=1:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Zauważamy, że:

Zatem najmniejsza wartość funkcji f jest przyjmowana dla argumentu równego 1.

Aby najmniejsza wartość była równa 4, to

wobec tego

a)

Niech

Aby wyznaczyć rozwiązania równania:

należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji f w podanym przedziale. 

Zauważamy, że funkcja f jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

Rozwiązujemy równanie:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=0:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(2)=-15 
• największa wartość: f(0)=9 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

Wobec tego wnioskujemy, że podane równanie jest spełnione, gdy:

b)

Niech

Aby wyznaczyć rozwiązania równania:

należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji f w podanym przedziale. 

Zauważamy, że funkcja f jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

Rozwiązujemy równanie:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-1 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-1:

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=1:

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(1)=0 
• największa wartość: f(2)=26 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

Wobec tego wnioskujemy, że podane równanie jest spełnione, gdy:

a)

Aby wyznaczyć rozwiązania równania:

należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji f w podanym przedziale. 

Pomocniczo wyznaczamy zbiór wartości funkcji:

Zauważamy, że funkcja g jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodna funkcji g:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji g':

Rozwiązujemy równanie:

Z wykresu funkcji g' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=√2 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja g ma minimum w punkcie x₀=√2:

Wyznaczamy wartości funkcji g dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: g(√2)=-4√2 
• największa wartość: g(3)=9 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

Wobec tego wnioskujemy, że:

Wnioskujemy, że podane równanie jest spełnione, gdy:

b)

Aby wyznaczyć rozwiązania równania:

należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji f w podanym przedziale. 

Pomocniczo wyznaczamy zbiór wartości funkcji:

Zauważamy, że funkcja g jest funkcją ciągłą.

Wyznaczamy pochodna funkcji g:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji g':

Rozwiązujemy równanie:

Z wykresu funkcji g' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-1 oraz w punkcie x₀=1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja g ma minimum w punkcie x₀=-1 oraz x₀=1:

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja g ma maksimum w punkcie x₀=0:

Wyznaczamy wartości funkcji g dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: g(-1)=-1 
• największa wartość: g(3)=63 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

Wobec tego wnioskujemy, że:

Wnioskujemy, że podane równanie jest spełnione, gdy:

a)

Niech

Aby wyznaczyć rozwiązania równania:

należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji f. 

Zauważamy, że funkcja f jest funkcją ciągłą.

Zastosujmy podstawienie:

Wobec tego:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

Rozwiązujemy równanie:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie t₀=¹/₂ z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie t₀=¹/₂:

(Pochodna zmienia znak w punkcie t₀=-¹/₂ z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie t₀=-¹/₂:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(-¹/₂)=-1 
• największa wartość: f(¹/₂)=1 

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

Wobec tego wnioskujemy, że podane równanie jest spełnione, gdy:

b)

Niech

Aby wyznaczyć rozwiązania równania:

należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji f.

Zauważamy, że funkcja f jest funkcją ciągłą.

Zastosujmy podstawienie:

Wobec tego:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

Rozwiązujemy równanie:

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

(Pochodna zmienia znak w punkcie t₀=-^√2/₂ z dodatniego na ujemny.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie t₀=-^√2/₂:

(Pochodna zmienia znak w punkcie t₀=^√2/₂ z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie t₀=^√2/₂:

Zauważamy, że:

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(^√2/₂)=-√2 
• największa wartość: f(-^√2/₂)=√2

Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że:

Wobec tego wnioskujemy, że podane równanie jest spełnione, gdy: