a)

Zatem rozwiązania równania należące do przedziału (^𝜋/₂ ; ³/₂𝜋), to 

b)

Zatem rozwiązania równania należące do przedziału (-^𝜋/₂ ; ^𝜋/₂), to

c)

Zatem rozwiązania równania należące do przedziału (2𝜋 ; ⁵/₂𝜋) ∪ (⁵/₂𝜋 ; 3𝜋), to 

d)

Zatem rozwiązania równania należące do przedziału (-𝜋 ; 0), to

Wykres funkcji f w przedziale ⟨-4; 4) 

Z wykresu funkcji f w przedziale ⟨-4; 4) możemy odczytać, że

Zatem do przedziału ⟨-4; 4) należy 8 rozwiązań równania f(x)=1. 

a)

• Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji y=sinx o wektor [^𝜋/₃, 2] 

•  
• Brak miejsc zerowych. 

b)

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji

c)

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji y=tgx o wektor [^𝜋/₆, -1] 

Wiemy, że 

Więc

d)

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Wiemy, że 

Więc

a)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy 

Więc

b)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

Więc

c)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

Więc

d)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

Więc

a)

Wiemy, że

zatem

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy 

Więc

b)

Wiemy, że

zatem

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy 

Więc

c)

Wiemy, że

zatem

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy 

Więc

d)

Wiemy, że

zatem

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy 

Więc

a)

Rozpiszmy lewą stronę równania 

Wnioskujemy, że skoro L=P, to podana zależność jest tożsamością trygonometryczną.

b)

Rozpiszmy lewą stronę równania

Wnioskujemy, że skoro L=P, to podana zależność jest tożsamością trygonometryczną.

c)

Rozpiszmy lewą stronę równania

Wnioskujemy, że skoro L=P, to podana zależność jest tożsamością trygonometryczną.

d)

Rozpiszmy lewą stronę równania

Wnioskujemy, że skoro L=P, to podana zależność jest tożsamością trygonometryczną.

Przekształćmy wzór funkcji f przy pomocy tożsamości trygonometrycznych. 

Zauważamy, że skoro f(x)=-1, to funkcja dla każdego argumentu przyjmuje stałą wartość równą -1.

Wnioskujemy, że funkcja f jest funkcją stałą.

co kończy dowód.

a)

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli

oraz, że mianowniki ułamków są różne od zera, czyli

Stąd

Rozpiszmy lewą stronę równania

Rozpiszmy prawą stronę równania 

co kończy dowód.

b)

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli

Rozpiszmy prawą stronę równania

co kończy dowód.

c)

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli

oraz, że mianowniki ułamków są różne od zera, czyli

Stąd

Rozpiszmy lewą stronę równania

co kończy dowód.

d)

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli

oraz, że mianowniki ułamków są różne od zera, czyli

Stąd

Rozpiszmy lewą stronę równania

co kończy dowód.

e)

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli

Rozpiszmy prawą stronę równania

co kończy dowód.

f)

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli

oraz, że mianowniki ułamków są różne od zera, czyli

Stąd

Rozpiszmy lewą stronę równania

Rozpiszmy prawą stronę równania

co kończy dowód.

a)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞)
• 1 rozwiązanie, gdy m=0
• 2 rozwiązania, gdy m ∈ (0; 2〉

b)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; -3) ∪ (1; +∞)
• 1 rozwiązanie, gdy m ∈ {-3, 1}
• 2 rozwiązania, gdy m ∈ (-3; -1) ∪ (-1; 1)
• 3 rozwiązania, gdy m=-1

c)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; ¹/₂) ∪ (³/₂; +∞)
• 2 rozwiązania, gdy m=³/₂
• 3 rozwiązania, gdy m=¹/₂
• 4 rozwiązania, gdy m ∈ (¹/₂; ³/₂)

a)

Równanie f(x)=m ma rozwiązanie wtedy, gdy m jest liczbą należącą do zbioru wartości funkcji f. 

Zatem, określmy zbiór wartości funkcji f. 

Wiemy, że

Możemy zapisać, że

Więc, aby równanie f(x)=m miało rozwiązania, to

b)

Równanie f(x)=m ma rozwiązanie wtedy, gdy m jest liczbą należącą do zbioru wartości funkcji f. 

Zatem, określmy zbiór wartości funkcji f. 

Wiemy, że

Możemy zapisać, że

Więc, aby równanie f(x)=m miało rozwiązania, to

c)

Równanie f(x)=m ma rozwiązanie wtedy, gdy m jest liczbą należącą do zbioru wartości funkcji f. 

Zatem, określmy zbiór wartości funkcji f. 

Wiemy, że

Możemy zapisać, że

Więc, aby równanie f(x)=m miało rozwiązania, to