a)

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta. 

b) 

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta.

c)

d)

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów.

e)

Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów.

f)

Korzystamy ze wzoru na cosinus różnicy kątów.

a)

Rozpiszmy prawą stronę równania 

Zatem podana zależność jest tożsamością trygonometryczną.

b)

Rozpiszmy prawą stronę równania

Zatem podana zależność jest tożsamością trygonometryczną.

c)

Powyższa zależność nie jest tożsamością trygonometryczną, ponieważ nie jest spełniona dla każdego kąta 𝛼.

Weźmy kąt 𝛼=0º.

Zauważamy, że L≠P, bo 8≠9.  

Pokazaliśmy, że istnieje taki kąta 𝛼 dla którego podana zależność nie jest prawdziwa.

co kończy dowód.

d)

Założenia

Powyższa zależność nie jest tożsamością trygonometryczną, ponieważ nie jest spełniona dla każdego kąta 𝛼.

Weźmy kąt 𝛼=0.

Zauważamy, że L≠P, bo 2≠0.  

Pokazaliśmy, że istnieje taki kąta 𝛼 dla którego podana zależność nie jest prawdziwa.

co kończy dowód.

a)

Rozpiszmy prawą stronę równania. 

co kończy dowód.

b)

Rozpiszmy prawą stronę równania.

co kończy dowód. 

c)

Rozpiszmy lewą stronę równania.

co kończy dowód. 

d)

Rozpiszmy lewą stronę równania.

co kończy dowód. 

a)

Zauważmy, że skoro

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy 

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta dostajemy

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta dostajemy

Natomiast

b)

Zauważmy, że skoro

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta dostajemy

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta dostajemy

Natomiast

a)

b) 

c)

Z treści zadania wiemy, że

Zauważamy, że  

Zatem dostajemy

Dostajemy 

Wyznaczmy wartość funkcji trygonometrycznej korzystając z jedynki trygonometrycznej

Dostajemy

Z treści zadania wiemy, że

Z założenia możemy wywnioskować, że 

a)

W tym przykładzie należy obliczyć wartość wyrażenia

Wiemy, że

Przekształćmy równoważnie

Wnioskujemy, że 

b)

W tym przykładzie należy obliczyć wartość wyrażenia

Z podpunktu a) wiemy, że

Zatem korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta dostajemy

Z założenia wiemy, że

Więc powracając do szukanej wartości wyrażenia mamy

c) 

W tym przykładzie należy obliczyć wartość wyrażenia

Z podpunktu a) i b) wiemy, że

Więc 

a)

Wiemy, że

Możemy zapisać

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

Obliczyć wartość sinusa podwojonego kąta      

Obliczmy wartość cosinusa podwojonego kąta

Możemy powrócić do obliczenia wartości wyrażenia sin3x i cos3x

b)

Wiemy, że

Możemy zapisać

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

Obliczyć wartość sinusa podwojonego kąta     

Obliczmy wartość cosinusa podwojonego kąta

Możemy powrócić do obliczenia wartości wyrażenia sin3x i cos3x

a)

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji

b) 

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji

c)

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji

d)

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji

e)

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji

f)

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji

a)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉 

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; -2) ∪ (0; +∞)
• 2 rozwiązania, gdy m ∈ {-2; 0}
• 4 rozwiązania, gdy m ∈ (-2; -1) ∪ (-1; 0)
• 5 rozwiązań, gdy m=-1

b)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞)
• 2 rozwiązania, gdy m ∈ {0; 2}
• 4 rozwiązania, gdy m ∈ (0; 1) ∪ (1; 2)
• 5 rozwiązań, gdy m=1

c)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; 0) ∪ (3; +∞)
• 4 rozwiązania, gdy m=3
• 5 rozwiązań, gdy m=0 
• 8 rozwiązań, gdy m∈ (0; 3)

d)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; -1) ∪ (2; +∞)
• 1 rozwiązanie, gdy m=-1
• 2 rozwiązania, gdy m ∈ (-2; 2〉

e)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)
• 2 rozwiązania, gdy m ∈ {-2; 2}
• 4 rozwiązania, gdy m ∈ (-2; 0) ∪ (0; 2)
• 5 rozwiązań, gdy m=0

f)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)
• 4 rozwiązania, gdy m ∈ {1; 2}
• 8 rozwiązań, gdy m ∈ (1; 1+^√3/₂) ∪ (1+^√3/₂; 2)
• 9 rozwiązań, gdy m=1+^√3/₂

g)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 2 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; -1) ∪ (-1; +∞)
• 3 rozwiązania, gdy m=-1

h)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 2 rozwiązań, gdy m ∈ (-∞; 2) ∪ (2; +∞)
• 3 rozwiązania, gdy m=2

i)

Zauważmy, że funkcja g jest funkcją stałą.

Naszkicujmy wykres funkcji f w przedziale ⟨0; 2𝜋〉.

Szkicujemy kolejno wykresy funkcji 

Równanie f(x)=g(x) ma w przedziale ⟨0; 2𝜋〉

• 0 rozwiązań, gdy m ∈ (-1; +∞)
• 2 rozwiązania, gdy m ∈ (-∞; -1〉