a)

Z treści zadania wiemy, że

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych

Wiemy, że romb ma wszystkie boki tej samej długości zatem wystarczy obliczyć drugość jednego z boków. 

Zatem długość boku rombu ABCD jest równa √10.  

Możemy teraz obliczyć obwód rombu ABCD. 

Obliczmy długość przekątnej AC.

Obliczmy długość przekątnej DB.

Obliczmy wysokość DG rombu ABCD.

Wiemy, że prosta DG jest prostopadła do prostej AB.

• Wyznaczmy równanie prostej AB:

• Wyznaczmy równanie prostej DG

Skoro prosta DG jest prostopadła do prostej AB, to możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej DG.

Prosta DG przechodzi przez punkt D, zatem

• Wyznaczmy współrzędne punktu G.

Punkt G jest punktem przecięcia prostej AB i prostej DG, zatem rozwiążmy układ równań

zatem

Teraz możemy obliczyć wysokość DG rombu ABCD

b)

Z treści zadania wiemy, że

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych

Wiemy, że romb ma wszystkie boki tej samej długości zatem wystarczy obliczyć drugość jednego z boków. 

Zatem długość boku rombu ABCD jest równa 5√2.  

Możemy teraz obliczyć obwód rombu ABCD. 

Obliczmy długość przekątnej AC.

Obliczmy długość przekątnej DB.

Obliczmy wysokość DG rombu ABCD.

Wiemy, że prosta DG jest prostopadła do prostej AB.

• Wyznaczmy równanie prostej AB:

Odejmijmy stronami równania

• Wyznaczmy równanie prostej DG

Skoro prosta DG jest prostopadła do prostej AB, to możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej DG.

Prosta DG przechodzi przez punkt D, zatem

• Wyznaczmy współrzędne punktu G.

Punkt G jest punktem przecięcia prostej AB i prostej DG, zatem rozwiążmy układ równań

zatem

Teraz możemy obliczyć wysokość DG rombu ABCD

a)

Z treści zadania wiemy, że

Współrzędne punktów należących do prostej l możemy zapisać w postaci

Należy wyznaczyć współrzędne punktów, które należą do prostej i są odległe od punktu P o odległość d, zatem 

Lewą stronę wyrażenia możemy zapisać przy pomocy wzoru na długość odcinka

Aby lewa strona była równa prawej, to wyrażenia pod pierwiastkowe musza mieć tą samą wartość, zatem możemy zapisać

Zatem współrzędne punktów należących do prostej l, których odległość od punktu P jest równa d, to

b)

Z treści zadania wiemy, że

Współrzędne punktów należących do prostej l możemy zapisać w postaci

Należy wyznaczyć współrzędne punktów, które należą do prostej i są odległe od punktu P o odległość d, zatem

Lewą stronę wyrażenia możemy zapisać przy pomocy wzoru na długość odcinka

Aby lewa strona była równa prawej, to wyrażenia pod pierwiastkowe musza mieć tą samą wartość, zatem możemy zapisać

Zatem współrzędne punktów należących do prostej l, których odległość od punktu P jest równa d, to

Z treści zadania wiemy, że

Punkty A, B, C i D są wierzchołkami prostokąta.

Należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka B i D wiedząc, że należą one do prostej o równaniu y=4-x.

Może zapisać współrzędne punktów B i D następująco: 

Z informacji mówiącej, że czworokąt ABCD jest prostokątem możemy wywnioskować, że

gdzie AC jest przekątną prostokąta.

Obliczmy długość przekątnej AC

Wiemy, że

Zatem

Wnioskujemy, że

Z treści zadania wiemy, że

Punkty A, B, C, D są wierzchołkami trapezu równoramiennego o podstawie AB. 

Z tego, że trapez ABCD jest równoramienny możemy wywnioskować, że prosta AB jest równoległa do prostej CD.

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB. 

Zatem 

Wyznaczmy równanie prostej CD.

Skoro prosta CD przechodzi przez punkt C, to

Możemy wywnioskować, że punkt D ma współrzędne postaci

Z tego, że trapez ABCD jest równoramienny możemy również stwierdzić, że |BC|=|AD|.

Dostajemy

Zauważamy, że, gdy D(-6, 8), to czworokąt ABCD nie jest trapezem równoramiennym:

Podsumowując dostajemy 

a)

Niech P(x,y) będzie punktem spełniającym warunki zadania.

• Odległość punktu P od osi OX jest równa (dowolny punkt na osi OX ma współrzędne (x, 0), gdzie x jest liczbą rzeczywistą)

• Odległość punktu P od punktu (0, -4) 

Z warunku zadania otrzymujemy równanie, którego obie strony są dodatnie

Wnioskujemy, że krzywą jest parabola o równaniu

b)

Niech P(x,y) będzie punktem spełniającym warunki zadania.

• Odległość punktu P od osi OX jest równa (dowolny punkt na osi OX ma współrzędne (x, 0), gdzie x jest liczbą rzeczywistą)

• Odległość punktu P od punktu (4, 6)

Z warunku zadania otrzymujemy równanie, którego obie strony są dodatnie

Wnioskujemy, że krzywą jest parabola o równaniu

a)

Niech P(x,y) będzie punktem spełniającym warunki zadania.

• Odległość punktu P od prostej y=-2 jest równa (dowolny punkt na prostej y=-2 ma współrzędne (x, -2), gdzie x jest liczbą rzeczywistą)

• Odległość punktu P od punktu (2, 6) 

Z warunku zadania otrzymujemy równanie, którego obie strony są dodatnie

Wnioskujemy, że krzywą jest parabola o równaniu

b)

Niech P(x,y) będzie punktem spełniającym warunki zadania.

• Odległość punktu P od prostej y=5 jest równa (dowolny punkt na prostej y=5 ma współrzędne (x, 5), gdzie x jest liczbą rzeczywistą)

• Odległość punktu P od punktu (-4, -1) 

Z warunku zadania otrzymujemy równanie, którego obie strony są dodatnie

Wnioskujemy, że krzywą jest parabola o równaniu

a)

Niech P(x,y) będzie punktem spełniającym warunki zadania.

• Odległość punktu P od osi OY jest równa (dowolny punkt na osi OY ma współrzędne (0, y), gdzie y jest dowolną liczbą rzeczywistą)

• Odległość punktu P od punktu (2, 0) 

Z warunku zadania otrzymujemy równanie, którego obie strony są dodatnie

Wnioskujemy, że równaniem krzywej jest

b)

Niech P(x,y) będzie punktem spełniającym warunki zadania.

• Odległość punktu P od prostej x=4 jest równa (dowolny punkt na prostej x=4 ma współrzędne (4, y), gdzie y jest dowolną liczbą rzeczywistą)

• Odległość punktu P od punktu (2, -4) 

Z warunku zadania otrzymujemy równanie, którego obie strony są dodatnie

Wnioskujemy, że równaniem krzywej jest