a)

Z treści zadania wiemy, że

Zapiszmy równania prostych w postaci kierunkowej 

Zauważmy, że prosta k i prosta l są względem siebie równoległe. 

Zatem odległość między tymi prostymi jest równa średnicy okręgu, który jest styczny do obu prostych.

Wyznaczmy odległość pomiędzy prostymi, a zarazem długość średnicy okręgu.

Do prostej k należy punkt A(1, 6), zatem 

Skoro d jest długością średnicy okręgu, to promień okręgu r jest równy √5. 

Obliczamy pole koła.

b)

Z treści zadania wiemy, że

Zapiszmy równania prostych w postaci ogólnej

Zauważmy, że prosta k i prosta l są względem siebie równoległe. 

Zatem odległość między tymi prostymi jest równa średnicy okręgu, który jest styczny do obu prostych.

Wyznaczmy odległość pomiędzy prostymi, a zarazem długość średnicy okręgu.

Do prostej k należy punkt A(4, 9), zatem 

Skoro d jest długością średnicy okręgu, to promień okręgu r jest równy 5. 

Obliczamy pole koła.

a)

Z treści zadania wiemy, że

Wyznaczmy równanie prostej AB i prostej CD.

Do prostej AB należy punkt A, zatem podstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej AB 

zatem

Do prostej CD należy punkt C, zatem podstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej CD

zatem

Zauważmy, że współczynniki kierunkowe prostych AB i CD są takie same, zatem możemy wywnioskować, że są one względem siebie równoległe. 

Obliczmy odległość pomiędzy prostą AB a prosta CD.   

Zapiszmy równanie prostej AB w postaci ogólnej

Wiemy, że do prostej CD należy punkt C(0, 3), zatem wyznaczmy odległość punktu C od prostej AB

Zauważmy, że odległość d pomiędzy prostymi jest również wysokością czworokąta ABCD, który jest trapezem. 

Zatem obliczmy długość odcinka AB i CD (czyli długości podstaw trapezu).

Obliczmy pole czworokąta ABCD

b)

Z treści zadania wiemy, że

Wyznaczmy równanie prostej AB i prostej CD.

Do prostej AB należy punkt A, zatem podstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej AB

zatem

Do prostej CD należy punkt C, zatem podstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej CD

zatem

Zauważmy, że współczynniki kierunkowe prostych AB i CD są takie same, zatem możemy wywnioskować, że są one względem siebie równoległe. 

Obliczmy odległość pomiędzy prostą AB a prosta CD.   

Zapiszmy równanie prostej AB w postaci ogólnej

Wiemy, że do prostej CD należy punkt C(3, 4), zatem wyznaczmy odległość punktu C od prostej AB

Zauważmy, że odległość d pomiędzy prostymi jest również wysokością czworokąta ABCD, który jest trapezem. 

Zatem obliczmy długość odcinka AB i CD (czyli długości podstaw trapezu).

Obliczmy pole czworokąta ABCD

a)

Wyznaczamy równanie prostej l₂ równoległej do prostej l₁: y=x, wiedząc że odległość między nimi jest równa 10.

Równanie prostej l₂ ma postać 

Dla x=0 otrzymujemy punkt P(0, b) należący do prostej l_2. 

Zapisujemy równanie prostej l₁ w postaci ogólnej

Wyznaczmy odległość punktu P od tej prostej:

Wiemy, że

Zatem równanie prostej l₂ zapisujemy w postaci:

b)

Wyznaczamy równanie prostej l₂ równoległej do prostej l₁: y=x+3, wiedząc że odległość między nimi jest równa 10.

Równanie prostej l₂ ma postać

Dla x=0 otrzymujemy punkt P(0, b) należący do prostej l_2.

Zapisujemy równanie prostej l₁ w postaci ogólnej

Wyznaczmy odległość punktu P od tej prostej:

Wiemy, że

Zatem równanie prostej l₂ zapisujemy w postaci:

a)

Wyznaczmy współrzędne punktu A i punktu B, które są puntami przecięcia prostej y=2x-4 z osiami układu współrzędnych.

Przecięcie z osią OX

zatem 

Przecięcie z osią OY

zatem 

Wiemy, że punkt C będący jednym z wierzchołków trójkąta leży na prostej y=2x+2.

Zauważmy, że prosta y=2x-4 i prosta y=2x+2 są względem siebie równoległe.

Zatem wyznaczmy wysokość trójkąta wychodzącą z wierzchołka C i padającą na podstawę AB trójkąta ABC.

Wysokość o której mowa, jest odległością punktu C od prostej y=2x-4.

Zatem zapiszmy równanie prostej y=2x-4 w postaci ogólnej.

Skoro punkt C leży na prostej y=2x+2, to niech C(2, 6). 

Wyznaczmy długość odcinka AB

Obliczmy pole trójkąta ABC

b)

Wyznaczmy współrzędne punktu A i punktu B, które są puntami przecięcia prostej y=¹/₂x-6 z osiami układu współrzędnych.

Przecięcie z osią OX

zatem

Przecięcie z osią OY

zatem 

Wiemy, że punkty D i C będące wierzchołkami równoległoboku leżą na prostej y=¹/₂x-1.

Zauważmy, że prosta y=¹/₂x-6 i prosta y=¹/₂x-1 są względem siebie równoległe.

Zatem wyznaczmy wysokość równoległoboku wychodzącą z wierzchołka C i padającą na podstawę AB równoległoboku ABCD.

Wysokość o której mowa, jest odległością punktu C od prostej y=¹/₂x-6.

Zatem zapiszmy równanie prostej y=¹/₂x-6 w postaci ogólnej.

Skoro punkt C leży na prostej y=¹/₂x-1, to niech C(2, 0). 

Wyznaczmy długość odcinka AB

Obliczmy pole równoległoboku ABCD

a)

Z treści zadania wiemy, że

Zauważmy, że współczynnik kierunkowy prostej k i prostej l jest równy √3, zatem szukana prosta 

ma postać

Do prostej m należy punkt A(0, b).

Z treści zadania wiemy, że odległość prostej m od prostej k i l ma być taka sama, zatem obliczmy

te odległości ze wzoru i przyrównajmy do siebie, co pozwoli nam obliczyć wartość współczynnika b we wzorze prostej m.  

Odległość prostej k od prostej m (czyli odległość prostek k od punktu A).

Odległość prostej l od prostej m (czyli odległość prostek l od punktu A).

Aby odległości pomiędzy prostą k i m oraz l i m były takie same, to

Zatem dostajemy 

Zatem szukana prosta, to:

b)

Z treści zadania wiemy, że

Zapiszmy równania prostych w postaci kierunkowej.

Zauważmy, że współczynnik kierunkowy prostej k i prostej l jest równy (-0,7), zatem szukana prosta 

ma postać

Do prostej m należy punkt A(0, b).

Z treści zadania wiemy, że odległość prostej m od prostej k i l ma być taka sama, zatem obliczmy

te odległości ze wzoru i przyrównajmy do siebie, co pozwoli nam obliczyć wartość współczynnika b we wzorze prostej m.  

Odległość prostej k od prostej m (czyli odległość prostek k od punktu A).

Odległość prostej l od prostej m (czyli odległość prostek l od punktu A).

Aby odległości pomiędzy prostą k i m oraz l i m były takie same, to

Zatem dostajemy 

Zatem szukana prosta, to:

a)

W treści zadania zostały podane równania dwóch prostych równoległych

Obliczmy odległość między nimi 

b)

W treści zadania zostały podane równania dwóch prostych równoległych

Zapiszmy równania prostych w postaci ogólnej

Obliczmy odległość między nimi