Na kuli opisano stożek. 

a) 

Przekrój osiowy tego stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12. 

Rysunek: 

Długość promienia kuli jest równa długości promienia r okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. 

Długość r stanowi ¹/₃ długości wysokości trójkąta równobocznego. 

Korzystając ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego mamy:

b)

Przekrój osiowy tego stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 6. 

Rysunek:

Skoro ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, to

Długość promienia kuli jest równa długości promienia okręgu r opisanego na tym trójkącie prostokątnym. 

Korzystając ze wzoru na długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym mamy:

Rysunek: 

Odcinek AP jest wysokością trójkąta równobocznego ABC. Korzystając ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego mamy:

oraz

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BPS mamy:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta O₁PS mamy:

Na mocy cechy kkk wiemy, że trójkąty SOQ i SPO₁ są podobne. Mamy zatem:

W sześcian wpisano kulę. 

a)

Rysunek: 

Długość promienia tej kuli jest równa połowie długości krawędzi tego sześcianu, czyli

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy: 

b)

Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że długość przekątnej tego sześcianu jest równa 8. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej sześcianu mamy:

Długość promienia tej kuli jest równa połowie długości krawędzi tego sześcianu, czyli

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy: 

Rysunek:  

Wyznaczmy objętość tego sześcianu. Mamy:

Długość promienia r kuli wpisanej w sześcian jest równa połowie długości krawędzi tego sześcianu, czyli

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

Wyznaczmy stosunek objętości sześcianu do tej kuli. Mamy:

a)

Dany jest walec opisany na kuli. 

Rysunek: 

Przekrój osiowy tego walca jest kwadratem, którego bok ma długość podojonej długości promienia kuli wpisanej w ten walec. Zatem

oraz

Wyznaczmy objętość tego walca. Mamy:

b)

Przekrój osiowy tego walca jest kwadratem, którego bok ma długość podojonej długości promienia kuli wpisanej w ten walec. Zatem

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej długości √2. Mamy zatem

zatem

Promień kuli wpisanej w ten walec ma długość ¹/₂. 

Rysunek: 

Wyznaczmy pole powierzchni tego walca. Mamy:

Wyznaczmy pole powierzchni tej kuli. Mamy:

Wyznaczmy stosunek pól powierzchni walca i kuli. Mamy:

Wyznaczmy objętość tego walca. Mamy:

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

Wyznaczmy stosunek objętości walca i kuli. Mamy:

co kończy dowód.