a)

Zakładamy, że liczby x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy: 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz na kwadrat różnicy mamy:

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, zatem również nierówność

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. 

b)

Zakładamy, że liczby x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy:

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, zatem również nierówność

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. 

a)

Zakładamy, że liczby x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy: 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, zatem również nierówność

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. 

b)

Zakładamy, że liczby x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, zatem również nierówność

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. 

Założenie:

a)

Teza:

Dowód:  

Korzystamy z zależności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną liczb a i b i mamy:  

Obie strony nierówności są dodatnie, więc podnosząc obie strony do kwadratu mamy:

co kończy dowód.

b)

Teza:

Dowód:

Przekształcamy nierówność zawartą w tezie równoważnie i mamy:

Korzystając z udowodnionej w podpunkcie a) nierówności, uzasadniliśmy, że:

co kończy dowód.

c)

Teza:

Dowód:

Przekształcamy nierówność zawartą w tezie równoważnie i mamy:

Korzystając z udowodnionej w podpunkcie a) nierówności, uzasadniliśmy, że:

co kończy dowód.

a)

Założenie:

Teza:

Dowód:

Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną liczb a i b mamy:  

Podstawiamy ab=4 i mamy: 

Stąd otrzymujemy:

co kończy dowód.

b)

Założenie:

Teza:

Dowód:

Korzystając z założenia wiemy, że

Przekształcając równoważnie nierówność daną w tezie mamy: 

Podstawiając b=1-a otrzymujemy: 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy mamy:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnej liczby rzeczywistej a, zatem również nierówność

zachodzi dla liczb rzeczywistych a i b takich, że a+b=1. 

co kończy dowód.

Przypomnienie

Niech liczby a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Z zależności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną wiemy, że:

Obie strony nierówności są dodatnie. Podnosząc obustronnie nierówność do kwadratu mamy: 

a)

Założenie:

Teza:

Dowód:

Korzystając z przypomnianej zależności i z założenia mamy: 

czyli

Przekształcamy równoważnie nierówność z tezy i mamy: 

Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych, zatem nierówność 

jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a i b. 

b)

Założenie:

Teza:

Dowód:

Korzystając z przypomnianej zależności i z założenia mamy: 

czyli

Przekształcamy równoważnie nierówność z tezy i mamy: 

Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych, zatem nierówność 

jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a i b. 

a)

Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a⩾b>0. 

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy: 

Wiemy, że a⩾b, czyli a-b⩾0.

Wiemy, że a>0 i b>0, więc a+b+ab>0. 

Iloczyn liczby nieujemnej i liczby dodatniej jest liczbą nieujemną. Stąd ostatnia nierówność jest prawdziwa dla liczb rzeczywistych a i b takich, że a⩾b>0. Zatem również nierówność 

jest prawdziwa dla liczb rzeczywistych a i b takich, że a⩾b>0.

b)

Założenie:

Teza:

Dowód:

Przekształcamy równoważnie nierówność zawartą w tezie i mamy:

Korzystając z równości a²+b²=1 zawartej w założeniu wiemy, że b²=1-a² i mamy: 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych a i b określonych w założeniu, zatem również nierówność

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych a≠0 i b≠0 takich, że a²+b²=1. 

Dany jest prostopadłościan o krawędziach długości a, b, c i przekątnej długości d. 

Uzasadnimy, że 

W dowodzie skorzystamy z tego, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c zachodzą nierówności: 

oraz ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu

co możemy zapisać jako:

Mamy:

Otrzymaliśmy zatem:

Liczby a, b, c i d są liczbami dodatnimi, więc: