a)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:  

b)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy: 

c)

Dana jest liczba:

Uprośćmy wyrażenie będące wykładnikiem tej potęgi. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy: 

Zatem otrzymujemy:

d)

Dana jest liczba:

Uprośćmy wyrażenie będące wykładnikiem tej potęgi. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy: 

Zatem otrzymujemy:

e)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

f)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

Dane są liczby

oraz

a)

Wyraźmy podaną liczbę p za pomocą liczb a i b. Korzystając z praw działań na logarytmach mamy: 

b)

Wyraźmy podaną liczbę p za pomocą liczb a i b. Korzystając z praw działań na logarytmach mamy:    

c)

Wyraźmy podaną liczbę p za pomocą liczb a i b. Korzystając z praw działań na logarytmach mamy: 

d)

Wyraźmy podaną liczbę p za pomocą liczb a i b. Korzystając z praw działań na logarytmach mamy:    

e)

Wyraźmy podaną liczbę p za pomocą liczb a i b. Korzystając z praw działań na logarytmach mamy:    

f)

Wyraźmy podaną liczbę p za pomocą liczb a i b. Korzystając z praw działań na logarytmach mamy:   

a)

• Wyznaczmy wartość liczby a. Wiemy, że:

Korzystając z definicji logarytmu mamy:

• Wyznaczmy wartość liczby b. Wiemy, że: 

Korzystając z definicji logarytmu mamy:

• Wyznaczmy wartość liczby c. Wiemy, że:

Korzystając z definicji logarytmu mamy:

Wyznaczmy pierwiastek iloczynu liczb a, b i c. Mamy:

b)

Dana jest liczba a:

Dana jest liczba b. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:

Dana jest liczba c. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:

Wyznaczmy pierwiastek iloczynu liczb a, b i c. Mamy:

c)

Dana jest liczba a:

Dana jest liczba b. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:

Dana jest liczba c. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:

Wyznaczmy pierwiastek iloczynu liczb a, b i c. Mamy:

a)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

• Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji. Otrzymujemy stąd nierówność: 

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy: 

czyli

• Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Otrzymujemy stąd równanie:

Korzystając z definicji logarytmu mamy: 

Liczba 0 jest miejscem zerowym funkcji f. 

b)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

• Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji. Otrzymujemy stąd nierówność: 

czyli

• Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Otrzymujemy stąd równanie:

Korzystając z definicji logarytmu mamy: 

Liczba ¹/₂ jest miejscem zerowym funkcji f. 

c)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

• Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji. Otrzymujemy stąd nierówność: 

Wartość bezwzględna liczby jest liczbą nieujemną, czyli powyższa nierówność jest równoważna:

czyli

• Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Otrzymujemy stąd równanie:

Korzystając z definicji logarytmu mamy: 

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy:

Liczby 6 i 8 są miejscami zerowymi funkcji f. 

d)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

• Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji. Otrzymujemy stąd nierówność: 

czyli

• Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f. Otrzymujemy stąd równanie:

Korzystając z definicji logarytmu mamy: 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby

a) 

Dana jest funkcja f określona wzorem:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji f. Otrzymujemy: 

Funkcja y=log_1/4x jest malejąca, więc 

czyli

b) 

Dana jest funkcja f określona wzorem:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji f. Otrzymujemy: 

czyli

c) 

Dana jest funkcja f określona wzorem:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji f. Otrzymujemy: 

• Rozwiążmy nierówność (∗). Mamy:

Funkcja y=log_1/3x jest malejąca, więc

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy: 

czyli

• Rozwiążmy nierówność (∗∗). Mamy:

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy: 

czyli

Podsumowują mamy:

czyli

d) 

Dana jest funkcja f określona wzorem:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji f. Otrzymujemy: 

czyli

Dana jest funkcja f określona wzorem

a)

Dana jest funkcja g określona jako: 

Wykres funkcji f przesuwamy równolegle o wektor [-3, -1] i otrzymujemy wykres funkcji g. 

Rysunek:

Odczytujemy z wykresu dziedzinę funkcji g. Mamy: 

Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji g. Mamy: 

Funkcja g jest rosnąca w całej swojej dziedzinie D_g. 

b)

Dana jest funkcja g określona jako: 

Wykres funkcji f przesuwamy równolegle o wektor [2, -1] i otrzymujemy wykres funkcji f(x-2)-1.

Wykres funkcji f(x-2)-1 odbijamy symetrycznie względem osi OX i otrzymujemy wykres funkcji g.

Rysunek:

Odczytujemy z wykresu dziedzinę funkcji g. Mamy: 

Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji g. Mamy: 

Funkcja g jest malejąca w całej swojej dziedzinie D_g. 

c)

Dana jest funkcja g określona jako: 

Wykres funkcji f przesuwamy równolegle o wektor [-2, 0] i otrzymujemy wykres funkcji f(x+2).

Część wykresu funkcji f(x+2), która znajduje się pod osią OX odbijamy symetrycznie względem osi OX, pozostałą część wykresu pozostawiamy bez zmian i otrzymujemy wykres funkcji g.

Rysunek:

Odczytujemy z wykresu dziedzinę funkcji g. Mamy: 

Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji g. Mamy: 

Odczytajmy z wykresu monotoniczność funkcji g. Mamy:

a)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

Wykres funkcji y=log₂x przesuwamy równolegle o wektor [-1, 2] i otrzymujemy wykres funkcji y=log₂(x+1)+2. 

Część wykresu funkcji y=log₂(x+1)+2, która znajduje się pod osią OX odbijamy symetrycznie względem osi OX, pozostałą część wykresu pozostawiamy bez zmian i otrzymujemy wykres funkcji f.

Rysunek:

Odczytujemy z wykresu dziedzinę funkcji f. Mamy: 

Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f. Mamy: 

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji. Mamy: 

Korzystając z definicji logarytmu mamy:

Odczytajmy z wykresu monotoniczność funkcji f. Mamy:

b)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

Zapiszmy wzór tej funkcji w innej postaci. Mamy:

czyli

Wykres funkcji y=log₂x przesuwamy równolegle o wektor [0, -1] i otrzymujemy wykres funkcji y=log₂x-1.

Korzystając z tego, że dla x>0 zachodzi równość y=log₂x-1 oraz wykres funkcji f jest symetryczny względem osi OY, otrzymujemy wykres funkcji y=log₂|x|-1. 

Część wykresu funkcji y=log₂|x|-1, która znajduje się pod osią OX odbijamy symetrycznie względem osi OX, pozostałą część wykresu pozostawiamy bez zmian i otrzymujemy wykres funkcji f.

Rysunek:

Odczytujemy z wykresu dziedzinę funkcji f. Mamy: 

Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f. Mamy: 

Odczytajmy z wykresu monotoniczność funkcji f. Mamy:

a)

Dana jest funkcja f określona wzorem

Dana jest funkcja g określona wzorem 

Wykres funkcji y=log_1/3x przesuwamy równolegle o wektor [-2, 3] i otrzymujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji y=log₃x przesuwamy równolegle o wektor [4, 0] i otrzymujemy wykres funkcji g.

We wspólnym układzie współrzędnych narysujmy wykresy funkcji f i g. Mamy:

Dana jest nierówność

której dziedziną jest część wspólna dziedzin funkcji f i g, czyli

Odczytajmy z rysunku zbiór rozwiązań nierówności f(x)⩾g(x). Mamy:

b)

Dana jest funkcja f określona wzorem

Dana jest funkcja g określona wzorem 

Wykres funkcji y=log_1/3x przesuwamy równolegle o wektor [3, 0] i otrzymujemy wykres funkcji f.

Wykres funkcji y=log₂x odbijamy symetrycznie względem osi OX, a następnie tak otrzymany wykres przesuwamy równolegle o wektor [0, 2] i otrzymujemy wykres funkcji g.

We wspólnym układzie współrzędnych narysujmy wykresy funkcji f i g. Mamy:

Dana jest nierówność

której dziedziną jest część wspólna dziedzin funkcji f i g, czyli

Odczytajmy z rysunku zbiór rozwiązań nierówności f(x)⩾g(x). Mamy:

a)

Wykażemy, że poniższa nierówność jest prawdziwa:

Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy: 

Korzystając z monotoniczności funkcji logarytmicznej mamy:

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem początkowa nierówność również jest prawdziwa.

Wykazaliśmy, że podana nierówność jest prawdziwa. 

b)

Wykażemy, że poniższa nierówność jest prawdziwa:

Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:

Korzystając z monotoniczności funkcji logarytmicznej mamy:

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem początkowa nierówność również jest prawdziwa.

Wykazaliśmy, że podana nierówność jest prawdziwa. 

a)

Dana jest liczba a określona jako:

Wykażemy, że

Wyraźmy liczbę log₃√5 przy pomocy liczby a. Mamy: 

co kończy dowód.

b)

Dana jest liczba a określona jako:

Wykażemy, że

Przekształćmy wyrażenie opisujące liczbę a. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:

zatem

Wyraźmy liczbę log₉2 przy pomocy liczby a. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:

co kończy dowód.