a)

Dany jest ciąg (a_n), n∈N₊, o którym wiemy, że sumą n początkowych wyrazów tego ciągu jest 

Wyznaczymy ogólny wyraz ciągu (a_n).

Zauważmy, że 

czyli

więc mamy

powyższy wzór jest prawdziwy również dla wyrazu a₁ ponieważ 

Zatem otrzymaliśmy, że

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Zbadajmy różnicę a_n+1-a_n. Mamy: 

Różnica a_n+1-a_n jest stała dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem arytmetycznym. 

b)

Dany jest ciąg (a_n), n∈N₊, o którym wiemy, że sumą n początkowych wyrazów tego ciągu jest 

Wyznaczymy ogólny wyraz ciągu (a_n).

Zauważmy, że 

czyli

więc mamy

powyższy wzór nie jest prawdziwy dla wyrazu a₁ ponieważ 

Zatem otrzymaliśmy, że

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Zauważmy, że

oraz

więc otrzymaliśmy, że

Różnica a_n+1-a_n nie jest stała dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym. 

c)

Dany jest ciąg (a_n), n∈N₊, o którym wiemy, że sumą n początkowych wyrazów tego ciągu jest 

Wyznaczymy ogólny wyraz ciągu (a_n).

Zauważmy, że 

czyli

więc mamy

powyższy wzór nie jest prawdziwy dla wyrazu a₁ ponieważ 

Zatem otrzymaliśmy, że

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Zauważmy, że

oraz

więc otrzymaliśmy, że

Różnica a_n+1-a_n nie jest stała dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym. 

a)

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r. Wiemy, że

Dany jest ciąg określony (b_n), n∈N₊ jako 

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest również ciągiem arytmetycznym.

Zbadajmy różnicę b_n+1-b_n. Mamy:

Liczba r jest różnicą ciągu (a_n), czyli jest liczbą stałą, zatem również liczba 2r jest liczbą stałą.  

Różnica b_n+1-b_n jest stała dla dowolnych n∈N₊, więc ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym. 

b)

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r. Wiemy, że

Dany jest ciąg określony (b_n), n∈N₊ jako

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest również ciągiem arytmetycznym.

Zbadajmy różnicę b_n+1-b_n. Mamy:

Liczba r jest różnicą ciągu (a_n), czyli jest liczbą stałą, zatem również liczba 2r jest liczbą stałą.  

Różnica b_n+1-b_n jest stała dla dowolnych n∈N₊, więc ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym. 

c)

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r. Wiemy, że

Dany jest ciąg określony (b_n), n∈N₊ jako

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest również ciągiem arytmetycznym.

Zbadajmy różnicę b_n+1-b_n. Mamy:

Liczba r jest różnicą ciągu (a_n), czyli jest liczbą stałą, zatem również liczba 2r jest liczbą stałą.  

Różnica b_n+1-b_n jest stała dla dowolnych n∈N₊, więc ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym. 

a)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, w którym liczby 2, 4, 8, ... są pierwszymi trzema wyrazami. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy: 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy a₆. Mamy:

Wyznaczmy a₁₀. Mamy:

b)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, w którym liczby 9, 3, 1, ... są pierwszymi trzema wyrazami. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

 Wyznaczmy a₆. Mamy:

Wyznaczmy a₁₀. Mamy:

c)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, w którym liczby ^√2/₂, 1, √2, ... są pierwszymi trzema wyrazami. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy a₆. Mamy:

Wyznaczmy a₁₀. Mamy:

a)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=-3 oraz ilorazie q=2. 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy: 

Wyznaczmy a₄. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy a₇. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

b)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=4 oraz ilorazie q=-1. 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy a₄. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy a₇. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

c)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=3 oraz ilorazie q=-√2. 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy a₄. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy a₇. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

d)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

O tym ciągu wiemy, że a₂=2 oraz a₃=1.

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy pierwszy wyraz a₁ tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy a₄. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy a₇. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

e)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

O tym ciągu wiemy, że a₃=3 oraz a₆=-81.

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy pierwszy wyraz a₁ tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy a₄. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy a₇. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

f)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=2√3 oraz ilorazie q. 

O tym ciągu wiemy, że 

czyli

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy:

Wyznaczmy a₄. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy a₇. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

a)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

O tym ciągu wiemy, że a₃=8 oraz a₄=16. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy: 

Wyznaczmy pierwszy wyraz a₁ tego ciągu. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy: 

Ciąg (a_n) jest ciągiem rosnącym, ponieważ a₁>0 i q>1. 

b)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

O tym ciągu wiemy, że a₂=18 oraz a₅=¹⁶/₃. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy pierwszy wyraz a₁ tego ciągu. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy: 

Ciąg (a_n) jest ciągiem malejącym, ponieważ a₁>0 i q∈(0, 1). 

c)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

O tym ciągu wiemy, że a₂=¹/₂ oraz a₇=-2√2. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy pierwszy wyraz a₁ tego ciągu. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy: 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu. Mamy: 

Ciąg (a_n) jest ciągiem niemonotonicznym, ponieważ q<0. 

a)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

Iloraz ^a_n+1/a_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

b)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

Iloraz ^a_n+1/a_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

c)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

Iloraz ^a_n+1/a_n nie jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg nie jest ciągiem geometrycznym. 

d)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

Iloraz ^a_n+1/a_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

Wykażemy, że ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^a_n+1/a_n. Mamy: 

Iloraz ^a_n+1/a_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

a)

Dany jest ciąg (b_n) określony jako

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^b_n+1/b_n. Mamy:

Iloraz ^b_n+1/b_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

b)

Dany jest ciąg (b_n) określony jako

Sprawdzimy, czy ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^b_n+1/b_n. Mamy:

Iloraz ^b_n+1/b_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

c)

Dany jest ciąg (b_n) określony jako

Wyznaczmy pierwsze trzy wyrazy tego ciągu. Mamy:

Zauważmy, że

oraz

czyli

Iloraz ^b_n+1/b_n nie jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ten ciąg nie jest ciągiem geometrycznym. 

a)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. Wiemy, że

Dany jest ciąg (b_n) określony jako 

Wykażemy, że ten ciąg również jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^b_n+1/b_n. Mamy: 

Liczba q jest ilorazem ciągu (a_n), czyli jest liczbą stałą, zatem również liczba q² jest liczbą stałą.  

Iloraz ^b_n+1/b_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym.

b)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. Wiemy, że

Dany jest ciąg (b_n) określony jako

Wykażemy, że ten ciąg również jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^b_n+1/b_n. Mamy: 

Liczba q jest ilorazem ciągu (a_n), czyli jest liczbą stałą, zatem również liczba q² jest liczbą stałą.  

Iloraz ^b_n+1/b_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym.

c)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. Wiemy, że

Dany jest ciąg (b_n) określony jako

Wykażemy, że ten ciąg również jest ciągiem geometrycznym.

Zbadajmy iloraz ^b_n+1/b_n. Mamy: 

Liczba q jest ilorazem ciągu (a_n), czyli jest liczbą stałą, zatem również liczba q jest liczbą stałą.  

Iloraz ^b_n+1/b_n jest stały dla dowolnych n∈N₊, więc ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym.

a)

Liczby 7, x, y, 189 tworzą ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=7 oraz ilorazie q. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy: 

Wyznaczmy wartości liczb x i y. Mamy:

Między podane liczby należy wstawić 21 i 63. 

b)

Liczby 6, x, y, z, 96 tworzą rosnący ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=6 oraz ilorazie q. 

Wyznaczmy iloraz q tego ciągu. Mamy: 

Ciąg ten jest ciągiem rosnącym, więc q=2. 

Wyznaczmy wartości liczb x, y i z. Mamy:

Między podane liczby należy wstawić 12, 24 i 48. 

c)

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

Wiemy, że suma tych liczb jest równa 4 ¹/₃, a ich iloczyn jest równy 1. Otrzymujemy stąd układ równań postaci:

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego otrzymujemy:

Podstawiając wyznaczone q z drugiego równania układu do pierwszego równania układu otrzymujemy: 

• Dla a₁=¹/₃ mamy q=3. Otrzymujemy stąd:

• Dla a₁=3 mamy q=¹/₃. Otrzymujemy stąd:

Szukane liczby to ¹/₃, 1, 3 lub 3, 1, ¹/₃. 

a)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=5 oraz ilorazie q=³/₂. 

Wyznaczmy sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Mamy: 

b)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=√2 oraz ilorazie q=-1. 

Wyznaczmy sumę czterdziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Mamy:

c)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

Wiemy, że a₃=-1 oraz a₆=¹/₈.

Wyznaczmy iloraz q. Mamy:

Wyznaczmy pierwszy wyraz a₁ tego ciągu. Mamy: 

Wyznaczmy sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Mamy:

d)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz ilorazie q. 

Wiedząc, że drugi wyraz tego ciągu a₂=1 mamy:

Wiedząc dodatkowo, że

mamy

czyli

Wyznaczmy sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu. Mamy: