Rysunek: 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EBC otrzymujemy:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AEC otrzymujemy:

czyli

Rozważmy trójkąt EBC. Wyznaczmy sinus kąta 𝛼. Mamy:

Wyznaczmy obwód tego trapezu. Mamy:

Rysunek: 

Punkty D, E, F są środkami - odpowiednio - boków AB, BC i AC tego trójkąta.

Punkt P jest punktem przecięcia środkowych tego trójkąta.

Środkowe dowolnego trójkąta przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka, więc

Trójkąt ABP jest prostokątnym trójkątem równoramiennym, więc

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta APF mamy:

czyli

Wyznaczmy długość wysokości CD tego trójkąta. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DBC mamy:

Wyznaczmy pole trójkąta ABC. Mamy:

Niech R będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC. 

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta

mamy:

Dany jest trójkąt równoboczny o obwodzie 6, zatem boki tego trójkąta mają długości 2. 

Rysunek: 

Wiedząc, że

otrzymujemy

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABP mamy:

Wyznaczmy pole trójkąta ABP. Mamy:

Niech R będzie długością promienia koła opisanego na trójkącie ABP. Pole tego trójkąta możemy zapisać również jako: 

Porównując otrzymane pola mamy:

Wyznaczmy pole tego koła. Mamy:

Rysunek: 

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie otrzymujemy:   

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC otrzymujemy:

więc

Podsumowując, otrzymaliśmy:

Rysunek: 

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej kąta trójkąta otrzymujemy:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACD mamy:     

Wyznaczmy obwód trójkąta ACD. Mamy:

Wyznaczmy obwód trójkąta ABD. Mamy:

Rysunek: 

Podany trapez opisany jest na kole o promieniu długości 2, czyli

Rozważmy trójkąt prostokątny AED. Korzystając z funkcji sinus otrzymujemy:

Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów otrzymujemy: 

Podany trapez opisany jest na okręgu, więc

Obliczmy pole tego trapezu. Mamy:

Rysunek: 

Objaśnienia do rysunku:

Przekątna AC czworokąta ABCD jest średnicą tego okręgu, więc trójkąty ACD i ABC są prostokątne. 

Odcinki DO i OB są promieniami okręgów opisanych na trójkątach ACD i ABC odpowiednio, więc |DO|=3 oraz |OB|=3.

Czworokąt ABCD wpisany jest w okrąg, więc skoro |∢DCB|=135^o, to |∢DAC|=45^o. 

Wiedząc, że |∢DAB|=45^o i kąt ten jest kątem wpisanym opartym na łuku DB, mamy również |∢DOB|=90^o, ponieważ jest to kąt środkowy oparty na tym samym łuku. 

Trójkąt DOB jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc

Rysunek: 

Trapez ten można opisać na okręgu, więc

czyli

Zapiszmy pole trapezu ABCD. Mamy:

Odcinek EF podzielił trapez na dwa trapezy EFCD i ABFE, których pola są w stosunku 1:2. 

Mamy stąd:

Mamy również:  

Odp. Podstawy tego trapezu mają długości 2 i 10. 

Dany jest trapez na którym można opisać okrąg. Trapez ten jest zatem trapezem równoramiennym.

Rysunek: 

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD otrzymujemy:

Niech R będzie długością promienia okręgu opisanego na tym trapezie. Okrąg opisany na tym trapezie jest również okręgiem opisanym na trójkącie ABD. 

Korzystając z twierdzenia sinusów dla trójkąta ABD otrzymujemy:

Rysunek: 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDO mamy:

Rozważmy trójkąt prostokątny BDO. Wyznaczmy sinus i cosinus kąta 𝛼. Mamy: 

oraz

Wyznaczmy sinus kąta CBA. Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy: 

Wyznaczmy pole trójkąta ABC. Mamy:

Pole trójkąta ABC możemy też zapisać jako:

Porównując otrzymane pola mamy:

Wyznaczmy długość boku AB oraz AC mamy:

oraz