Pamiętamy, że liczby podzielne przez 3, to liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 3.
Z treści zadania wiemy, że do zapisu cyfr używamy wyłącznie cyfry 0 i cyfry 1.
a)
Należy obliczyć, ile jest liczb czterocyfrowych spełniających warunki zadania.
Aby liczba czterocyfrowa była podzielna przez 3, to w jej zapisie muszą występować trzy jedynki i jedno zero.
Więc szukane liczby składają się z cyfr: 1, 1, 1, 0.
Cyfrą tysięcy musi być cyfra 1 (zero nie może być cyfrą tysięcy), zatem na pierwszym miejscu ustawiamy cyfrę na jeden sposób, następnie z trzech pozostałych miejsc w liczbie wybieramy dwa na których ustawiamy dwie pozostałe jedynki, a na wolne miejsce wstawiamy 0 na jeden sposób.
Wobec tego wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy łącznie:
b)
Należy obliczyć, ile jest liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania.
Aby liczba pięciocyfrowa była podzielna przez 3, to w jej zapisie muszą występować trzy jedynki i dwa zera.
Więc szukane liczby składają się z cyfr: 1, 1, 1, 0, 0.
Cyfrą dziesiątek tysięcy musi być cyfra 1 (zero nie może być cyfrą tysięcy), zatem na pierwszym miejscu ustawiamy cyfrę na jeden sposób, następnie z czterech pozostałych miejsc w liczbie wybieramy dwa na których ustawiamy dwie pozostałe jedynki, a na wolne miejsce wstawiamy zera na jeden sposób.
Wobec tego wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy łącznie:
c)
Należy obliczyć, ile jest liczb ośmiocyfrowych spełniających warunki zadania.
Aby liczba ośmiocyfrowa była podzielna przez 3, to w jej zapisie muszą występować:
Rozważamy pierwszy przypadek.
Wiemy, że na pierwszym miejscu w liczbie nie może stać cyfra 0, więc wstawiamy na pierwszym miejscu cyfrę 1 na jeden sposób. Następnie z 7 pozostałych miejsc wybieramy 2 na których postawimy pozostałe dwie jedynki, a na wolnych pięciu miejscach wstawiamy zera na 1 sposób.
Czyli takich liczb mamy łącznie:
Rozważamy drugi przypadek.
Wiemy, że na pierwszym miejscu w liczbie nie może stać cyfra 0, więc wstawiamy na pierwszym miejscu cyfrę 1 na jeden sposób. Następnie z 7 pozostałych miejsc wybieramy 5 na których postawimy pozostałe pięć jedynek, a na wolnych dwóch miejscach wstawiamy zera na 1 sposób.
Podsumowując, wszystkich takich liczb mamy łącznie:
Wobec tego wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy łącznie:
Z treści zadania wiemy, że rzucamy trzy razy monetą.
A - co najwyżej raz wypadła reszka
B - co najwyżej dwa razy wypadła reszka
C - trzy razy wypadła reszka
a)
Pary zdarzeń wykluczających się:
ponieważ te dwie pary nie mają wspólnych zdarzeń elementarnych.
Para zdarzeń przeciwnych: B i C, ponieważ B'=C (zdarzenie przeciwne do zdarzenia B, to zdarzenie C).
b)
Zdarzeniem niemożliwym jest zdarzenie:
ponieważ nie ma części wspólnej zdarzeń.
Zdarzeniem pewnym jest zdarzenie:
ponieważ rzucając trzy razy monetą na pewno wyrzucimy 0, 1, 2 lub 3 reszki.
Z treści zadania wiemy, że w urnie są cztery kule ponumerowane od 1 do 4.
A - dwie wylosowane kule mają numery nieparzyste
a)
Losujemy dwie kule bez zwracania.
Wobec tego przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω możemy opisać w następujący sposób:
czyli inaczej
Możemy zapisać, że
oraz
czyli
Wobec tego:
b)
Losujemy dwie kule ze zwracaniem.
Wobec tego przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω możemy opisać w następujący sposób:
czyli inaczej
Możemy zapisać, że
oraz
Wobec tego:
Z treści zadania wiemy, że ze zbioru {1, 2, 3, ..., 12} wybieramy jedną liczbę.
Zatem:
więc
a)
A - wylosowano liczbę podzielną przez 2
więc
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
b)
B - wylosowano liczbę podzielną przez 3
więc
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:
c)
C - wylosowana liczba jest podzielna przez 2 lub przez 3
więc
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia C:
Z treści zadania wiemy, że rzucamy dwa razy kostką.
Wobec tego:
ponieważ w pierwszym rzucie możemy wyrzucić liczbę oczek na 6 sposobów oraz w drugim rzucie możemy wyrzucić liczbę oczek na 6 sposobów.
a)
Aby iloczyn oczek, które wypadną w obu rzutach był równy 6, to muszą wypaść następujące pary liczb: (1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2).
Niech A - zdarzenie polegające na tym, że iloczyn oczek, które wypadną w obydwu rzutach, będzie równy 6.
Zatem:
więc
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
b)
Aby w każdym rzucie liczba oczek była większa od numeru rzutu, to w pierwszym rzucie musi wypaść liczba większa od 1, a zatem jedna z liczb ze zbioru {2, 3, 4, 5, 6}, natomiast w drugim rzucie musi wypaść liczba większa od 2, a więc jedna z liczb ze zbioru {3, 4, 5, 6}.
Wobec tego, jeśli B jest zdarzeniem polegającym na tym, że w każdym rzucie wypadła liczba oczek większa niż numer rzutu, to:
ponieważ w pierwszym rzucie możemy wyrzucić liczbę oczek na 5 sposobów, natomiast w drugim rzucie możemy wyrzucić liczbę oczek na 4 sposoby.
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:
Z treści zadania wiemy, że w urnie są cztery kule oznaczone numerami 1, 2, 3 i 4.
Losujemy kolejno cztery kule bez zwracania. Jeśli numery kul zapiszemy w kolejności losowania, to utworzymy liczbę czterocyfrową.
Wobec tego:
a)
A - otrzymana liczba czterocyfrowa jest parzysta
Aby liczba czterocyfrowa była parzysta, to jej cyfrą jedności (ostatnią cyfrą) musi być cyfra parzysta, a więc w przypadku tego zadania jedna cyfra ze zbioru {2, 4}.
Wobec cyfrę jedności możemy wybrać na 2 sposoby, cyfrę dziesiątek na 3 sposoby, cyfrę setek na 2 sposoby i cyfrę tysięcy na 1 sposób.
Wnioskujemy, że:
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
b)
B - otrzymana liczba jest większa od 1234
Rozważmy trzy przypadki:
więc
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:
Z treści zadania wiemy, że w urnie znajduje się 5 kul białych i 3 czarne, a więc łącznie 8 kul.
Losujemy kolejno 3 kule.
I przypadek
Losujemy 3 kule bez zwracania.
Wobec tego:
A - wylosowano trzy kule białe
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
II przypadek
Losujemy 3 kule ze zwracaniem.
Wobec tego:
B - wylosowano trzy kule białe
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:
Zauważamy, że:
zatem wnioskujemy, że bardziej prawdopodobne wylosowanie trzech kul białych jest podczas losowania ze zwracaniem.
Z treści zadania wiemy, że w klasie IVa jest 8 chłopców i 12 dziewcząt, natomiast w klasie IVb jest 10 chłopców i 6 dziewcząt.
Z każdej klasy wybieramy losowo jedną osobę (łącznie dwie osoby).
Wobec tego:
a)
A - wylosowano dwie dziewczyny
zauważmy, że:
ponieważ z klasy IVa możemy wybrać jedną dziewczynę na 8 sposobów, natomiast z klasy IVb możemy wybrać jedną dziewczynę na 6 sposobów.
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
b)
B - wylosowano dziewczynę i chłopca
Wobec tego możemy wylosować jedną dziewczynę z klasy IVa na 12 sposobów oraz chłopca z klasy IVb na 10 sposób lub chłopca z klasy IVa na 8 sposobów oraz dziewczynę z klasy IVb na 6 sposobów.
Wszystkich możliwości wyboru mamy łącznie:
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B: