a) 

b)

c)

d)

e)

f)

a) 

Zauważmy, że:

wobec tego:

b)

Zauważmy, że:

wobec tego:

c)

Zauważmy, że:

wobec tego:

d)

Zauważmy, że:

wobec tego:

e)

Zauważmy, że:

 oraz

wobec tego:

f)

Zauważmy, że:

oraz

wobec tego:

a)

Należy zbadać ciągłość funkcji: 

Badamy ciągłość funkcji w punkcie x=0.

zauważamy, że:

zatem istnieje granica funkcji f w punkcie x=0:

wiemy, że:

Wnioskujemy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x=0.  

b)

Należy zbadać ciągłość funkcji: 

Badamy ciągłość funkcji w punkcie x=1.

zauważamy, że:

zatem nie istnieje granica funkcji f w punkcie x=1:

Wnioskujemy, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x=1.  

a)

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametrów a i b funkcja f jest ciągła.

oraz

Aby istniała granica funkcji f w punkcie x=1, to:

więc:

Dodatkowo, aby funkcja f była ciągła w punkcie x=1, to:

Dostajemy, że:

b)

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametrów a i b funkcja f jest ciągła.

oraz

Aby istniała granica funkcji f w punkcie x=2, to:

więc:

Dodatkowo, aby funkcja f była ciągła w punkcie x=2, to:

Dostajemy, że:

a)

1) Sprawdzamy ciągłość funkcji f w punkcie x=-2. 

Zatem nie istnieje granica funkcji f w punkcie x=-2.

Wnioskujemy, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x=-2.    

2) Sprawdzamy ciągłość funkcji f w punkcie x=-2.

Zatem:

Zauważmy, że:

Wnioskujemy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x=2.    

b)

1) Sprawdzamy ciągłość funkcji f w punkcie x=2.

Zatem:

Zauważmy, że:

Wnioskujemy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x=2.    

2) Sprawdzamy ciągłość funkcji f w punkcie x=7.

Zatem nie istnieje granica funkcji f w punkcie x=7.

Wnioskujemy, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x=7.    

a)

Sprawdzamy, dla jakiej wartości parametru a funkcja f jest ciągła.

oraz

Aby funkcja była ciągła, to:

Wobec tego:

Zapisujemy wzór funkcji f:

Szkicujemy wykres funkcji f:

Wnioskujemy, że funkcja f ma:

• minimum: f(1)=0
• maksimum: f(0)=1

b)

Sprawdzamy, dla jakiej wartości parametru a funkcja f jest ciągła.

oraz

Aby funkcja była ciągła, to:

Wobec tego:

Zapisujemy wzór funkcji f:

Szkicujemy wykres funkcji f:

Wnioskujemy, że funkcja f nie ma ekstremów.

a)

Dana jest funkcja:

Funkcja f jest ciągła w podanym przedziale.

Zauważmy, że: 

Zatem na mocy własności Darboux wnioskujemy, że istnieje c należące do przedziału (1,4) takie, że f(c)=0.  

Wnioskujemy, że funkcja f ma w podanym przedziale co najmniej jedno miejsce zerowe,

co należało wykazać.

b)

Funkcja f jest ciągła w podanym przedziale.

Zauważmy, że:

Zatem na mocy własności Darboux wnioskujemy, że istnieje c należące do przedziału (-1 1) takie, że f(c)=0.  

Wnioskujemy, że funkcja f ma w podanym przedziale co najmniej jedno miejsce zerowe,

co należało wykazać.

a)

Dane jest równanie: 

Funkcja f jest ciągła w podanym przedziale.

Zauważmy, że dla x=0 dostajemy:

Natomiast dla x=1 mamy:

Zatem na mocy własności Darboux wnioskujemy, że istnieje takie c należące do przedziału (0, 1) dla którego f(c)=0.

Wnioskujemy, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie w podanym przedziale,

co należało wykazać.

b)

Dane jest równanie:

Funkcja f jest ciągła w podanym przedziale.

Zauważmy, że dla x=1 dostajemy:

Natomiast dla x=2 mamy:

Zatem na mocy własności Darboux wnioskujemy, że istnieje takie c należące do przedziału (1, 2) dla którego f(c)=0.

Wnioskujemy, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie w podanym przedziale,

co należało wykazać.

a)

Dane jest równanie:

Funkcja f jest ciągła, w szczególności jest więc ciągła w przedziale (0, 1).

Zauważmy, że:

Na mocy własności Darboux w przedziale (0, 1) istnieje takie x₀, że f(x₀) = 0.

Niech x₀ będzie miejscem zerowym funkcji f, zatem x₀ ∈ (0, 1).

Zauważmy, że:

Zatem na mocy własności Darboux w przedziale (0, ¹/₂) funkcja f ma miejsce zerowe. 

Zauważmy, że:

Zatem na mocy własności Darboux w przedziale (0, ¹/₄) funkcja f ma miejsce zerowe. 

Zauważmy, że:

Zatem w przedziale ⟨0, ¹/₄⟩ funkcja f ma miejsce zerowe.

Wnioskujemy, że liczba x₀=¹/₄ jest przybliżeniem rozwiązania równania z dokładnością do ¹/₄. 

b)

Dane jest równanie:

Funkcja f jest ciągła, w szczególności jest więc ciągła w przedziale (-1, 0).

Zauważmy, że:

Na mocy własności Darboux w przedziale (-1, 0) istnieje takie x₀, że f(x₀) = 0.

Niech x₀ będzie miejscem zerowym funkcji f, zatem x₀ ∈ (-1, 0).

Zauważmy, że:

Zatem na mocy własności Darboux w przedziale (-¹/₂, 0) funkcja f ma miejsce zerowe. 

Zauważmy, że:

Zatem w przedziale ⟨-¹/₂, -¹/₄⟩ funkcja f ma miejsce zerowe.

Wnioskujemy, że liczba x₀=-¹/₄ jest przybliżeniem rozwiązania równania z dokładnością do ¹/₄.