a)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

natomiast malejąca w przedziale:

b)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zastosujemy podstawienie:

Wobec tego:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziale:

natomiast malejąca w przedziałach:

c)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

natomiast malejąca w przedziale:

d)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

natomiast malejąca w przedziałach:

e)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

natomiast malejąca w przedziałach:

f)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

g)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że dla x-1:

Możemy podzielić wielomian np. schematem Hornera:

Zatem dostajemy:

Wobec tego rozwiązujemy równanie:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

natomiast malejąca w przedziale:

h)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wobec tego:

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

natomiast malejąca w przedziale:

a)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Wobec tego pochodna zmienia z znak z dodatniego na ujemny w punkcie x=-√3 oraz z ujemnego na dodatni w x=√3.
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum lokalne w x=-√3 oraz minimum lokalne w x=√3.

Wyznaczamy wartość maksimum:

Wyznaczamy wartość minimum:

b)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Wobec tego pochodna zmienia z znak z dodatniego na ujemny w punkcie x=0 oraz z ujemnego na dodatni w x=-√3 oraz w x=√3.
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum lokalne w x=0 oraz minimum lokalne w x=-√3 oraz w x=√3.

Wyznaczamy wartość maksimum:

Wyznaczamy wartość minimum:

c)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Wobec tego pochodna zmienia z znak z dodatniego na ujemny w punkcie x=1 oraz z ujemnego na dodatni w x=-1.
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum lokalne w x=1 oraz minimum lokalne w x=-1.

Wyznaczamy wartość maksimum:

Wyznaczamy wartość minimum:

d)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Wobec tego pochodna zmienia z znak z dodatniego na ujemny w punkcie x=0 oraz z ujemnego na dodatni w x=2.
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum lokalne w x=0 oraz minimum lokalne w x=2.

Wyznaczamy wartość maksimum:

Wyznaczamy wartość minimum:

e)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Wobec tego pochodna zmienia z znak z dodatniego na ujemny w punkcie x=0.
Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum lokalne w x=0.

Wyznaczamy wartość maksimum:

f)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Wobec tego pochodna zmienia z znak z ujemnego na dodatni w x=4.
Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum lokalne w x=4.

Wyznaczamy wartość minimum:

a)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=1 oraz z ujemnego na dodatni w x=3.
Wobec tego funkcja f osiąga maksimum w x=1 oraz minimum w x=3.

Zauważamy, że:

Obliczamy wartości funkcji f dla argumentu w którym funkcja osiąga maksimum oraz dla argumentów, które znajdują się na końcu przedziału:

Wnioskujemy, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla x=-1 równą -12 oraz wartość największą dla argumentu x=1 równą 0.

b)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=-1 oraz z ujemnego na dodatni w x=-1 oraz x=2.
Wobec tego funkcja f osiąga maksimum w x=-1 oraz minimum w x=-2 oraz x=2.

Zauważamy, że:

Obliczamy wartości funkcji f:

Wnioskujemy, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla x=2 równą -8 oraz wartość największą dla argumentu x=0 oraz x=3 równą 0.

c)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=0 oraz z ujemnego na dodatni w x=4.
Wobec tego funkcja f osiąga maksimum w x=0 oraz minimum w x=4.

Zauważamy, że:

Obliczamy wartości funkcji f:

Wnioskujemy, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla x=-3 równą -2 ⁹/₁₀ oraz wartość największą dla argumentu x=0 równą -2.

d)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Zauważmy, że:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=√3+2 oraz z ujemnego na dodatni w x=√3-2.
Wobec tego funkcja f osiąga maksimum w x=√3+2 oraz minimum w x=√3-2.

Obliczamy wartości funkcji f:

Wnioskujemy, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla x=√3-2 równą oraz wartość największą dla argumentu x=√3+2.

a)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Znajdujemy miejsca zerowe funkcji:

Wobec tego:

Zatem rozwiązujemy równanie:

Wnioskujemy, że istnieje tylko jeden punkt krytyczny x=³/₂.     

Funkcja pochodna zmienia znak w x=³/₂ z ujemnego na dodatni, zatem w punkcie x=³/₂ funkcja f ma minimum.

Sprawdzamy, czy minimum jest również wartością najmniejszą funkcji.

Wnioskujemy, że funkcja f osiąga wartość najmniejszą dla x=³/₂.

Wyznaczamy tę wartość najmniejszą:

b)

Dana jest funkcja:

Niech:

Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w tym samym punkcie, w którym funkcja g przyjmuje wartość najmniejszą.

Zatem badamy, w jakim punkcie wartość najmniejszą przyjmuje funkcja g.

Funkcja g jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola ramionami skierowana w górę, zatem przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

Wnioskujemy, że funkcja g przyjmuje wartość najmniejszą, gdy x=1.

Wyznaczmy wartość najmniejszą funkcji f:

c)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodna funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Szukamy miejsc zerowych funkcji:

zatem:

Wobec tego rozwiązujemy równanie:

Wnioskujemy, że istnieje tylko jeden punkt krytyczny:

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie krytycznym, zatem funkcja f osiąga w tym punkcie minimum.

Sprawdzamy, czy minimum funkcji f jest również jej wartością najmniejszą.

Wnioskujemy, że funkcja f ma wartość najmniejszą równą:

d)

Dana jest funkcja:

Niech:

Niech:

Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w tym samym punkcie, w którym funkcja g przyjmuje wartość najmniejszą.

Zatem badamy, w jakim punkcie wartość najmniejszą przyjmuje funkcja g.

Wyznaczamy pochodną funkcji g:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Funkcja pochodna zmienia z znak z ujemnego na dodatni w x=-1 oraz w x=1. Zatem funkcja g w tych punktach osiąga minimum.

Sprawdzamy, czy minimum jest również wartością najmniejszą funkcji.

Obliczamy wartość funkcji g:

Wnioskujemy, że funkcja g przyjmuje wartość najmniejszą, gdy x=-1 oraz x=1.

Wyznaczmy wartość najmniejszą funkcji f:

a)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie x=0 zatem w tym punkcie funkcja f osiąga minimum.

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie x=-1 oraz x=1 zatem w tych punktach funkcja f osiąga maksimum.     

Sprawdzamy, czy funkcja f osiąga wartość najmniejszą i wartość największą.

Wnioskujemy, że funkcja f osiąga wartość największą, ale nie osiąga wartości najmniejszej.

Obliczamy wartość największą funkcji f:

Wnioskujemy, że:

b)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie x=0 zatem w tym punkcie funkcja f osiąga minimum.  

Sprawdzamy, czy funkcja f osiąga wartość najmniejszą.

Wnioskujemy, że funkcja f osiąga wartość najmniejszą, ale nie osiąga wartości największej.

Obliczamy wartość najmniejszą funkcji f:

Wnioskujemy, że:

c)

Dana jest funkcja:

Sprawdzamy, czy funkcja f jest ciągła w x=2.

oraz

zatem funkcja f jest ciągła w x=2.

Sprawdzamy, czy funkcja f jest różniczkowalna w x=2.

Wnioskujemy, że funkcja nie jest różniczkowalna w x=2.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Rozwiązujemy równanie:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=2-√5 zatem w tym punkcie funkcja f osiąga minimum. 

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w x=2+√5 zatem w tym punkcie funkcja f osiąga maksimum.

Obliczamy wartości funkcji f:

Sprawdzamy, czy funkcja f przyjmuje wartość najmniejsza i największą:

Wobec tego funkcja f osiąga wartość najmniejsza i największą.

Wnioskujemy, że:

a)

Wyznaczamy pochodna funkcji f: 

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f:

Zauważmy, że:

Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale:

oraz rosnąca w przedziałach:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=-1 zatem w tym punkcie funkcja f osiąga maksimum.

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w x=-1 zatem w tym punkcie funkcja f osiąga minimum.

Sprawdzamy, czy istnieje wartość najmniejsza i największa funkcji f:

zatem funkcja f nie ma wartości najmniejszej i największej.

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:

Naszkicujmy pomocniczo wykres funkcji f:

Wnioskujemy, że równanie f(x)=a ma:

• jedno rozwiązanie, gdy a ∈ (-∞, -4) ∪ (4, ∞)
• dwa rozwiązania, gdy a ∈ {-4, 4}
• trzy rozwiązania, gdy a ∈ (-4, 4)

b)

Wyznaczamy pochodna funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f:

Zauważmy, że:

Zatem funkcja f jest malejąca w przedziałach:

oraz rosnąca w przedziałach:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=0 zatem w tym punkcie funkcja f osiąga maksimum.

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w x=-√2 oraz x=√2 zatem w tych punktach funkcja f osiąga minimum.

Sprawdzamy, czy istnieje wartość najmniejsza i największa funkcji f:

zatem funkcja f nie ma wartości największej, ale ma wartość najmniejszą równą -1.

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:

Niech:

Zatem

Naszkicujmy pomocniczo wykres funkcji f:

Wnioskujemy, że równanie f(x)=a ma:

• zero rozwiązań, gdy a ∈ (-∞, -1)
• dwa rozwiązania, gdy a ∈ {-1} ∪ (3, ∞)  
• trzy rozwiązania, gdy a = 3
• cztery rozwiązania, gdy a ∈ (-1, 3)

a)

Dana jest funkcja:

Jeżeli a=0, to funkcja f jest funkcją liniową i nie ma ekstremów.

Jeżeli a≠0, to funkcja f jest funkcją kwadratową.

Wtedy:

Funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie krytycznym, gdy jest to funkcja malejąca, więc:

Wtedy w punkcie krytycznym jest maksimum lokalne funkcji f.

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie krytycznym, gdy jest to funkcja rosnąca, więc:

Wtedy w punkcie krytycznym jest minimum lokalne funkcji f.

Wnioskujemy, że funkcja f ma:

• jedno ekstremum, gdy a≠0    
• brak ekstremów, gdy a=0

b)

Dana jest funkcja:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Jeżeli a=0, to istnieje tylko jeden punkt krytyczny, ale wykresem funkcji f' jest parabola ramionami skierowana w górę, więc pochodna nie zmienia znaku w tym punkcie. Wobec tego funkcja f nie osiąga w tym przypadku żadnego ekstremum.

Jeżeli a≠0, to istnieją dwa punkty krytyczne, w których pochodna zmienia znak, więc funkcja f w tym przypadku ma dwa ekstrema.

Wnioskujemy, że funkcja f ma:

• dwa ekstrema, gdy a≠0
• brak ekstremów, gdy a=0    

c)

Dana jest funkcja:

Jeżeli a=0, to:

Wtedy:

Zatem funkcja pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=0, czyli funkcja f osiąga jedno ekstremum. 

Jeżeli a≠0, to:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wnioskujemy, że funkcja f ma:

• dwa ekstrema, gdy a≠0   
• jedno ekstremum, gdy a=0

Z treści zadania wiemy, że x>0 oraz

skąd mamy 

Zapisujemy wyrażenie podane w treści zadania jako funkcję zmiennej x:

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie krytycznym x=2, zatem w tym punkcie funkcja f osiąga minimum.

Sprawdzamy, czy minimum jest również wartością najmniejszą funkcji f. 

W tym celu badamy granice funkcji f na krańcach przedziału określoności 

Wnioskujemy, że funkcja f ma wartość najmniejszą w puncie krytycznym. Wyznaczamy wartość najmniejszą funkcji f:

Odp: Dla x=2 wyrażenie podane w treści zadania przyjmuje wartość najmniejszą.

Z treści zadania wiemy, że:

zatem: 

Zapisujemy podane w treści wyrażenie jako funkcję zmiennej x:

Wyznaczamy pochodna funkcji f:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Wnioskujemy, że istnieje tylko jeden punkt krytyczny, w którym funkcja pochodna zmienia znak ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja f osiąga minimum.

Sprawdzamy, czy minimum jest również wartością najmniejszą funkcji:

Zatem funkcja f ma wartość najmniejszą w x=-1.

Wyznaczamy wartość y:

Wyznaczamy wartość najmniejszą wyrażenia:

Odp: Wnioskujemy, że dla x=-1 i y=-2 wyrażenie podane w treści zadania osiąga wartość najmniejszą równą 5.       

Niech a i b będą długościami boków prostokąta.

Z treści zadania wiemy, że:

wobec tego:

założenia:

Zapisujemy wzór funkcji opisującej obwód prostokąta:

Wyznaczamy pochodną funkcji b:

Wyznaczamy punkty krytyczne:

Funkcja pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie krytycznym, zatem w tym punkcie funkcja f ma minimum.

Sprawdzamy, czy minimum jest również wartością najmniejszą funkcji:

Zatem wnioskujemy, że w punkcie krytycznym funkcja f ma wartość najmniejszą.

Zatem, aby obwód prostokąta był najmniejszy, to musi być on kwadratem o boku długości: