Na sprawdzianie uczniowie musieli obliczyć, ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, które
należą do zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Uczeń I odpowiedział, że wynikiem jest:
Uzasadnienie:
W zbiorze mamy 6 cyfr.
Cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać.
Zatem pierwszą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów (pierwsza cyfrą nie może być 0), drugą cyfrę możemy
wybrać również na 5 sposobów, trzecią cyfrę na 4 sposoby, a czwartą cyfrę na 3 sposoby.
Wnioskujemy, że wszystkich liczb czterocyfrowych spełniających warunki zadania mamy łącznie:
co należało uzasadnić.
Uczeń II odpowiedział, że wynikiem jest:
Uzasadnienie:
W zbiorze mamy 6 cyfr.
Cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać.
Od ilości ciągów czterowyrazowych złożonych z różnych cyfr z podanego zbioru (łącznie z ciągami,
które zaczynają się od 0) odejmujemy ilość ciągów czterowyrazowych złożonych z różnych cyfr, które
zaczynają się od 0.
Wszystkich ciągów czterowyrazowych mamy:
Ciągów, których pierwszym wyrazem jest 0 mamy łącznie:
Wnioskujemy, że wszystkich liczb czterocyfrowych spełniających warunki zadania mamy łącznie:
co należało uzasadnić.
Sprawdzamy, ile jest pięciocyfrowych liczb parzystych o różnych cyfrach, w których zapisie nie występuje cyfra 7.
Aby liczba była parzysta, to jej cyfra jedności musi być cyfrą parzystą, a więc cyfrą ze zbioru {0, 2, 4, 6, 8}.
Rozważamy dwa przypadki:
1)
Cyfrą jedności jest cyfra 0.
Wtedy cyfrę dziesiątek tysięcy wybieramy na 8 sposobów (jedna cyfra ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}), cyfrę tysięcy
na 7 sposobów, cyfrę setek na 6 sposobów, a cyfrę dziesiątek na 5 sposobów.
Takich liczb mamy łącznie: 8·7·6·5=1 680.
2)
Cyfrą jedności jest cyfra ze zbioru {2, 4, 6, 8}, więc wybieramy ja na 4 sposoby.
Wtedy cyfrę dziesiątek tysięcy wybieramy na 7 sposobów, cyfrę tysięcy na 7 sposobów, cyfrę setek na 6 sposobów, a cyfrę
dziesiątek na 5 sposobów.
Takich liczb mamy łącznie: 7·7·6·5·4=5 880.
Wnioskujemy, że pięciocyfrowych liczb parzystych o różnych cyfrach, w których zapisie nie występuje
cyfra 7 mamy łącznie:
Sprawdzamy, ile jest sześciocyfrowych liczb parzystych o różnych cyfrach, w których zapisie nie występuje cyfra 7.
Aby liczba była parzysta, to jej cyfra jedności musi być cyfra parzysta, a więc cyfra ze zbioru {0, 2, 4, 6, 8}.
Rozważamy dwa przypadki:
1)
Cyfrą jedności jest cyfra 0.
Wtedy cyfrę setek tysięcy wybieramy na 8 sposobów (jedna cyfra ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}), cyfrę dziesiątek tysięcy
na 7 sposobów, cyfrę tysięcy na 6 sposobów, cyfrę setek na 5 sposobów, a cyfrę dziesiątek na 4 sposoby.
Takich liczb mamy łącznie: 8·7·6·5·4=6 720.
2)
Cyfrą jedności jest cyfra ze zbioru {2, 4, 6, 8}, więc wybieramy ją na 4 sposoby.
Wtedy cyfrę setek tysięcy wybieramy na 7 sposobów, cyfrę dziesiątek tysięcy na 7 sposobów, cyfrę tysięcy
na 6 sposobów, cyfrę setek na 5 sposobów, a cyfrę dziesiątek na 4 sposoby.
Takich liczb mamy łącznie: 7·7·6·5·4·4=23 520.
Wnioskujemy, że sześciocyfrowych liczb parzystych o różnych cyfrach, w których zapisie nie występuje
cyfra 7 mamy łącznie:
Sprawdzamy, ile jest liczb czterocyfrowych, których cyfry należą do zbioru {0, 2, 4, 6, 8} i nie mogą się
powtarzać, a ich suma jest większa od 12.
Aby suma cyfr w liczbie czterocyfrowej była większa od 12, to jej cyframi musza być:
8, 4, 2, 0 lub 8, 6, 4, 2 lub 8, 6, 4, 0 lub 8, 6, 2, 0.
Rozważamy wszystkie możliwości:
1) Cyframi w liczbie są: 8, 4, 2, 0.
Wtedy cyfrę tysięcy wybieramy na 3 sposoby (nie może być nią 0), cyfrę setek wybieramy na 3 sposoby, cyfrę
dziesiątek na 2 sposoby, a cyfrę jedności na 1 sposób. Łącznie takich liczb mamy: 3·3·2·1=18.
2) Cyframi w liczbie są: 8, 6, 4, 2.
Wtedy cyfrę tysięcy wybieramy na 4 sposoby, cyfrę setek wybieramy na 3 sposoby, cyfrę
dziesiątek na 2 sposoby, a cyfrę jedności na 1 sposób. Łącznie takich liczb mamy: 4·3·2·1=24.
3) Cyframi w liczbie są: 8, 6, 4, 0.
Wtedy cyfrę tysięcy wybieramy na 3 sposoby (nie może być nią 0), cyfrę setek wybieramy na 3 sposoby, cyfrę
dziesiątek na 2 sposoby, a cyfrę jedności na 1 sposób. Łącznie takich liczb mamy: 3·3·2·1=18.
4) Cyframi w liczbie są: 8, 6, 2, 0.
Wtedy cyfrę tysięcy wybieramy na 3 sposoby (nie może być nią 0), cyfrę setek wybieramy na 3 sposoby, cyfrę
dziesiątek na 2 sposoby, a cyfrę jedności na 1 sposób. Łącznie takich liczb mamy: 3·3·2·1=18.
Wnioskujemy, że wszystkich liczb czterocyfrowych, których cyfry należą do zbioru {0, 2, 4, 6, 8} i nie mogą się
powtarzać, a ich suma jest większa od 12 mamy: 18 + 24 + 18 + 18 = 78.
a)
Należy sprawdzić, ile jest wszystkich liczb, w których zapisie występują tylko cyfry 0, 1 i 2
oraz mają co najwyżej 4 cyfry.
Pamiętamy, że pierwszą cyfrą w zapisie liczby nie może być 0, więc pierwszą cyfrę wybieramy
na 2 sposoby. Natomiast pozostałe cyfry w liczbie wybieramy na 3 sposoby.
Wobec tego sprawdzamy, ile jest takich liczb:
Wnioskujemy, że liczb co najwyżej czterocyfrowych, spełniających warunki zadania mamy łącznie:
b)
Należy sprawdzić, ile jest wszystkich liczb, w których zapisie występują tylko cyfry 0, 1 i 2
oraz mają co najwyżej 6 cyfr.
Pamiętamy, że pierwszą cyfrą w zapisie liczby nie może być 0, więc pierwszą cyfrę wybieramy
na 2 sposoby. Natomiast pozostałe cyfry w liczbie wybieramy na 3 sposoby.
Wobec tego sprawdzamy, ile jest takich liczb:
Wnioskujemy, że liczb co najwyżej pięciocyfrowych, spełniających warunki zadania mamy łącznie:
Z treści zadania wiemy, że w partii jest 40 monitorów w czym 4 uszkodzone, więc 36 nieuszkodzonych.
a)
Wybieramy 3 monitory. Sprawdzamy, na ile sposobów możemy dokonać wyboru, jeśli żaden z wybranych
monitorów nie był uszkodzony.
Wtedy z 36 nieuszkodzonych monitorów wybieramy 3 monitory, więc takich możliwości wyboru mamy:
b)
Wybieramy 3 monitory. Sprawdzamy, na ile sposobów możemy dokonać wyboru, jeśli co najwyżej jeden z wybranych
monitorów był uszkodzony.
Mamy więc dwie możliwe sytuacje:
1) Żaden monitor nie był uszkodzony (sytuacja z podpunktu a)).
Takich możliwości wyboru mamy: 7 140.
2) Jeden monitor był uszkodzony, a dwa nie były uszkodzone.
Wtedy z 36 nieuszkodzonych monitorów wybieramy 2 monitory, natomiast z 4 uszkodzonych wybieramy 1 monitor,
więc takich możliwości wyboru mamy:
Wnioskujemy, że łącznie wszystkich wyborów monitorów w tej sytuacji mamy: 7 140 + 2 520 = 9 660.
Z treści zadania wiemy, że na parkingu stoi 10 samochodów tej samej marki.
4 samochody są czarne, 3 samochody są srebrne, a pozostałe - granatowe (3 samochody).
a)
Wybieramy 3 samochody. Sprawdzamy, na ile sposobów możemy dokonać wyboru, aby wszystkie
wybrane samochody były w różnych kolorach.
Zatem wybieramy 1 czarny (na 4 sposoby), 1 srebrny (na 3 sposoby) i 1 granatowy (na 3 sposoby).
Wszystkich możliwych wyborów mamy:
b)
Wybieramy 3 samochody. Sprawdzamy, na ile sposobów możemy dokonać wyboru, aby wszystkie
wybrane samochody były w tym samym kolorze.
Zatem wybieramy 3 czarne albo 3 srebrne albo 3 granatowe samochody.
Wszystkich możliwych wyborów mamy:
Rzucamy dwiema kostkami.
Liczbę wyrzuconych oczek na pierwszej kostce oznaczamy przez x, natomiast liczbę
wyrzuconych oczek na drugiej kostce oznaczamy przez y.
a)
Sprawdzamy, ile jest możliwych wyników spełniających warunek: x < y lub x > y + 2.
Z diagramu odczytujemy, że warunek x < y spełnia łącznie 15 wyników rzutu (wyniki zapisane poniżej przekątnej diagramu).
Warunek x > y + 2 spełnia łącznie 6 wyników rzutu (wyniki zapisane na niebieskim tle w prawym górnym rogu diagramu).
Wnioskujemy, że wszystkich wyników spełniających warunek: x < y lub x > y + 2 jest 15 + 6 = 21.
b)
Sprawdzamy, ile jest możliwych wyników spełniających warunek: x = y lub x ≥ y + 2.
Z diagramu odczytujemy, że warunek x = y spełnia łącznie 6 wyników rzutu (wyniki zapisane na przekątnej diagramu).
Warunek x ≥ y + 2 spełnia łącznie 6 + 4 = 10 wyników rzutu (31, 41, 51, 61, 42, 52, 62, 53, 63, 64).
Wnioskujemy, że wszystkich wyników spełniających warunek: x = y lub x ≥ y + 2 jest 6 + 10 = 16.
c)
Sprawdzamy, ile jest możliwych wyników spełniających warunek: x + y ≤ 5 lub x + y = 10.
Z diagramu odczytujemy, że warunek x + y ≤ 5 spełnia łącznie 10 wyników rzutu (11, 21, 31, 41, 12, 22, 23, 31, 32, 14).
Warunek x + y = 10 spełniają łącznie 3 wyniki rzutu (64, 55, 46).
Wnioskujemy, że wszystkich wyników spełniających warunek: x + y ≤ 5 lub x + y = 10 jest 10 + 3 = 13.