a)

Wiemy, że:

Wiemy, że: 

Zatem:

b)

Wiemy, że:

Wiemy, że:

Zatem:

Z treści zadnia wiemy, że:

Zatem: 

oraz:

Założenia:

Teza:

Dowód: 

co należało uzasadnić.

Rzucamy dwukrotnie kostką.

Niech Ω - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, więc:

A - w każdym rzucie otrzymamy inną liczbę oczek 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

B - ani raz nie otrzymamy szóstki

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

A ∩ B - w każdym rzucie otrzymano inna liczbę oczek i ani raz nie wypadła szóstka

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A ∩ B:

Obliczamy wartości prawdopodobieństw:

W pewnej grupie osób każdy zna język angielski lub niemiecki.

Niech A - osoba zna język niemiecki, B - osoba zna język angielski.

Z treści zadania wiemy, że: 

Możemy zapisać, że: 

ponieważ prawdopodobieństwo wylosowania ucznia znającego jeżyk niemiecki lub angielski
w danej grupie jest pewne. 

Należy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń zna oba języki, a więc:

Z treści zadania wiemy, że:

• matematykę lubi 100 uczniów
• historię lubi 90 uczniów
• biologię lubi 35 uczniów
• matematykę i historię lubi 25 uczniów
• matematykę i biologię lubi 15 uczniów
• historię i biologię lubi 20 uczniów
• matematykę, historię i biologię lubi 5 uczniów

Wybieramy jedna osobę.

Wiemy, że jeśli Ω - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, to: 

Zapisując wartości na diagramie idziemy "od tyłu", to znaczy najpierw zapisujemy liczbę osób, które
lubią zarówno matematykę, historię i biologię (5 osób), następnie 20 osób, które lubią historię
i biologię, kolejno 15 osób, które lubi matematykę i biologię, itd. 

Dostajemy diagram:

A - losowo wybrana osoba nie lubi żadnego języka

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

W zadaniu będziemy korzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń:

Losujemy ze zbioru {1, 2, 3, 4, ..., 100} jedną liczbę.

Niech Ω - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, więc: 

A - wylosowano liczbę podzielną przez 3

zatem co trzecia liczba jest podzielna przez 3.

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

B - wylosowano liczbę podzielną przez 4

zatem co czwarta liczba jest podzielna przez 4.

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

C - wylosowano liczbę podzielną przez 7

zatem co siódma liczba jest podzielna przez 7.

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

A ∩ B - wylosowano liczbę podzielną przez 3 i 4

zatem co dwunasta liczba jest podzielna przez 3 i 4.

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A ∩ B:

A ∩ C - wylosowano liczbę podzielną przez 3 i 7

zatem:

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A ∩ C:

B ∩ C - wylosowano liczbę podzielną przez 4 i 7

zatem:

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B ∩ C:

A ∩ B ∩ C - wylosowano liczbę podzielną przez 3, 4 i 7

zatem:

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A ∩ B ∩ C: