Dana jest grupa 6 chłopców i 4 dziewcząt. Wybieramy z tej grupy losowo trzy osoby.

Niech Ω oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych. Wtedy:  

a)

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród wybranych osób będzie co najmniej jeden chłopiec.

Zatem zdarzenie A' polega na tym, że wśród wybranych osób nie będzie żadnego chłopca. Wtedy

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A'. Mamy:

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Mamy:

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych osób będzie co najmniej jeden chłopiec wynosi ²⁹/₃₀. 

b)

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród wylosowanych osób nie będzie dziewczyny. Wtedy

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Mamy:

Niech B oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród wylosowanych osób będzie dokładnie jedna dziewczyna. Wtedy

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia B. Mamy:

Niech C będzie zdarzeniem polegającym na tym, że wylosowano co najwyżej jedną dziewczynę. Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia C. Mamy:

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że wylosowano co najwyżej jedną dziewczynę wynosi ²/₃. 

Partia składa się ze 100 elementów - 98 dobrych i 2 wadliwych. Kontrolujemy losowo wybrane 50 elementów. 

Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy 

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wszystkie elementy są dobre lub jeden element jest wadliwy.

Więc A' oznacza zdarzenie polegające na tym, że dwa elementy są wadliwe. Wtedy:

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A'. Mamy:

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Mamy:

Odp. Prawdopodobieństwo przyjęcia partii wynosi ¹⁴⁹/₁₉₈. 

W zapisie liczb sześciocyfrowych wykorzystano tylko cyfry 2, 3 i 4. 

Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy:

Z podanych liczb losujemy jedną. 

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano liczbę, której wszystkie cyfry są identyczne. Mamy:

czyli

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Mamy:

Niech B oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano liczbę, w której zapisie przynajmniej dwa razy występuje cyfra 4.

Zatem B' oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano liczbę, w której zapisie nie występuje 4 lub występuje raz.

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia B'. Mamy:

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia B. Mamy:

Niech C oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano liczbę, w której zapisie każda z cyfr: 2, 3, 4 występuje dwukrotnie.

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia C. Mamy:

Losujemy dwie różne liczby spośród liczb 1, 2, 3, ..., 15. Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy:

a)

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest mniejsza od 5. Wypiszmy elementy zbioru A. Mamy: 

czyli

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Mamy:

b)

Niech B oznacza zdarzenie polegające na tym, że obie wylosowane liczby są mniejsze od 7. Wypiszmy elementy zbioru B. Mamy:

czyli

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia B. Mamy: 

c)

Niech C oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty.

Zauważmy, że iloczyn wylosowanych liczb będzie parzysty, jeśli

• obie liczby są parzyste
• jedna liczba jest parzysta, a druga liczba jest nieparzysta

Wobec tego wystarczy, aby jedna z wylosowanych liczb była parzysta.

Niech C' oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty.

Liczby nieparzyste spośród, których losujemy dwie: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Zatem

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia C'. Mamy:

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia C. Mamy:

Na egzamin przygotowano 20 pytań. Student zna odpowiedzi na 12 pytań. Student przystępując do egzaminu losuje 3 pytania.

Niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że student zna odpowiedzi na wszystkie wylosowane pytania.

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Mamy: 

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że student zna odpowiedzi na wszystkie wylosowane pytania wynosi ¹¹/₅₇. 

Basia kupiła dwa losy - jeden na pierwszej loterii, jeden na drugiej loterii. Prawdopodobieństwo wygranej na pierwszej loterii wynosi ¹/₃, a na drugiej ¹/₄. 

a)

Wyznaczmy prawdopodobieństwo kupienia dwóch losów wygrywających. Mamy: 

b)

Wyznaczmy prawdopodobieństwo kupienie jednego losu wygrywającego, czyli na pierwszej loterii wygrywający, na drugiej loterii przegrywający lub odwrotnie. Mamy:

W urnie czarnych kul jest dwa razy więcej niż białych, zatem w urnie jest n kul białych i 2n kul czarnych. Wszystkich kul jest 3n. 

Losujemy dwie kule z tej urny.

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych kul wynosi:

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych jest większe od ²/₅. Stąd otrzymujemy nierówność: 

Liczba białych kul jest większa od 2, czyli najmniejsza liczba białych kul to 3.

Jeśli białych kul jest 3, to wszystkich kul jest 9.

Odp. Najmniejsza liczba kul w tej urnie to 9.

Losujemy jedną liczbę ze zbioru {1, 2, 3, 4}. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania każdej z nich jest równe ¹/₄. 

a)

Prawdopodobieństwo wyrzucenia jednej szóstki przy jednym rzucie:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch szóstek przy dwóch rzutach: 

Prawdopodobieństwo wyrzucenia trzech szóstek przy trzech rzutach:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia czterech szóstek przy czterech rzutach:

Wyznaczmy prawdopodobieństwo tego, że wypadną same szóstki. Mamy:

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że wypadną same szóstki wynosi ²⁵⁹/₅₁₈₄. 

b)

Prawdopodobieństwo niewyrzucenia żadnej szóstki przy jednym rzucie:

Prawdopodobieństwo niewyrzucenia żadnej szóstki przy dwóch rzutach:

Prawdopodobieństwo niewyrzucenia żadnej szóstki przy trzech rzutach:

Prawdopodobieństwo niewyrzucenia żadnej szóstki przy czterech rzutach: 

Wyznaczmy prawdopodobieństwo tego, że nie wypadnie żadna szóstka. Mamy:

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że nie wypadnie żadna szóstka wynosi ³³⁵⁵/₅₁₈₄.